Додекаэдр - очень необыкновенная большая фигура, состоящая из 12 схожих граней, любая из которых представляет собой верный пятиугольник. Чтоб собрать додекаэдр своими руками, совсем не непременно владеть особенными способностями 3D моделирования, с этой задачей управится даже ребенок. Незначительно сноровки, и у вас непременно все получится!

Нужные материалы и инструменты

  • Лист белоснежной и цветной бумаги. Лучшая плотность - 220 г/м 2 . Очень узкая бумага очень очень мнется при сборке, а очень толстый картон изламывается на сгибах.
  • Развертка додекаэдра (шаблон).
  • Узкий канцелярский ножик либо очень острые ножницы.
  • Обычной карандаш либо маркер.
  • Транспортир.
  • Длинноватая линейка.
  • Водянистый клей.
  • Кисточка.

Аннотация

  1. Если у вас есть принтер, то можно распечатать шаблон сходу на листе, но его полностью можно начертить без помощи других. Пятиугольники строятся при помощи транспортира и линейки, угол меж примыкающими линиями должен составлять ровно 108 о, подбирая длину грани можно сделать большой либо небольшой додекаэдр. Развертка представляет собой 2 соединенных «цветка», состоящих из 6 фигур. Непременно оставьте маленькие припуски, они необходимы для склеивания.
  2. Аккуратненько вырежьте заготовку ножницами либо ножиком на особом резиновом коврике, чтоб не разрушить поверхность стола. Дальше прогуляйтесь по местам сгибов острым углом линейки, это приметно облегчит сборку фигуры и сделает грани более осторожными.
  3. При помощи кисточки нанесите на припуски незначительно клея и соберите фигуру подгибая края вовнутрь. Если вы собрались сделать додекаэдр своими руками, а под рукою не оказалось даже скотча, вырежьте припуски одной половины шаблона в виде удлиненных треугольников, а на сгибах 2-ой части сделайте маленькие разрезы. Потом просто воткните краи в пазы, и конструкция будет достаточно крепко держаться.

Готовую фигуру можно разрисовать либо украсить наклейками. Модель огромного размера можно перевоплотить в уникальный календарь, ведь количество сторон соответствует количеству месяцев в году. Если вы увлекаетесь японским прикладным искусством, можно сделать додекаэдр своими руками в технике модульного оригами.

  1. Подготовьте 30 листов обыкновенной офисной бумаги. Отлично если они будут цветными и обоесторонними, можно избрать несколько цветов.
  2. Изготовка модулей. На уровне мыслей расчертите лист на четыре однообразные полосы и сложите гармошкой. Загните углы в на одну сторону в обратных направлениях, получившаяся фигура должна припоминать параллелограмм. Осталось перегнуть заготовку по недлинной диагонали. Сделайте 30 модулей и приступайте к сборке.
  3. Додекаэдр имеет 10 узлов, каждый собирается из 3-х частей. Подготовьте все части и вложите их друг в друга. Чтоб модули не разъезжались, фиксируйте соединения скрепками, когда вы вполне соберете фигуру, их можно будет убрать.

Когда только вы освоите понравившуюся вам технику, можно обучить собирать додекаэдр своими руками вашего малыша либо товарища. Ведь изготовка больших фигур не только лишь отлично развивает моторику пальцев, да и сформировывает пространственное воображение.

Додекаэдром называется объемная фигура, состоящая из двенадцати пятиугольников. Чтобы получить эту фигуру, необходимо вначале начертить ее развертку на плотной бумаге, а затем собрать ее из этой развертки в пространстве.

Вам понадобится

  • - плотная бумага;
  • - карандаш;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - угольник;
  • - кусок тонкой проволоки;
  • - ножницы;
  • - клей.

Инструкция

  • Начните работу с черчения центрального правильного пятиугольника. Для этого начертите циркулем окружность. Проведите через ее центр диаметр. Теперь его необходимо разделить на три части. Существует теорема, доказывающая, что трисекция (то есть, разделение отрезка или угла на три одинаковые части) при помощи линейки без делений и циркуля невозможна. Поэтому либо измерьте диаметр линейкой и поделите его на три, а затем отметьте на нем соответствующие точки по делениями линейки, либо измерьте его куском тонкой проволоки, сложите ее втрое, затем распрямите, наложите на диаметр и отметьте точки в местах сгиба.
  • В результате деления диаметра на три части на нем получатся две точки. Через одну из них проведите к диаметру при помощи угольника перепендикуляр. Он пересечет окружность в двух местах. Из каждого из них проведите по лучу, проходящему через вторую точку на диаметре. Они пересекут окружность еще в двух местах, ну а пятое место пересечения образует сам диаметр. Останется лишь соединить их между собой, и получится правильный пятиугольник, вписанный в окружность.
  • Начертите тем же способом еще одиннадцать пятиугольников, расположив их таким образом, чтобы получилась фигура, подобная показанной на рисунке. Пририсуйте к ее граням сбоку небольшие лепестки, облегчающие склейку. Затем вырежьте ее и склейте. То, что должно получиться в результате, показано на иллюстрации в заголовке статьи.
  • Поскольку у додекаэдра ровно двенадцать граней, в виде этой фигуры можно изготавливать объемные, устойчивые настольные календари. Для этого сначала составьте на каждой из граней по календарю на один месяц, и лишь затем вырежьте и склейте фигуру. Также такой календарь можно сгенерировать автоматически, перейдя по указанной ниже ссылке. Год определится автоматически по встроенным часам сервера, а язык названий месяцев и дней недели - по настройкам вашего браузера.

ИКОСАЭДР

РАЗВЕРТКА ИКОСАЭДРА. Развертка состоит из двадцати правильных треугольников, кроме того, развертка включает в себя еще и клапаны.

КАК СДЕЛАТЬ ИКОСАЭДР ПО РАЗВЕРТКЕ. Согнуть развертку по всем необходимым линиям «горой». Если развертка выполнена на плотной бумаге, то по всем линиям сгиба провести по изнанке острым краем ножниц.

КАК СКЛЕИТЬ ИКОСАЭДР? После того, как развертка согнута, промажьте клапаны клеем (лучше использовать ПВА), и склейте 20-сторонний шар.

ДРУГОЙ СПОСОБ СКЛЕЙКИ ИКОСАЭДРА.

Из бумаги вырезается 20 отдельных кругов, в которые вписаны правильные треугольники.

Сгибаем заготовленные круги по граням треугольника и склеиваем. Причем — по желанию: гранями наружу или гранями вовнутрь.

Икосаэдр — г Змеиногорск Алтай

ГЕРАЛЬДИКА.

Шар Икосаэдра на гербе г.Змеиногорска, Алтай.

НАЗВАНИЕ. Звезда Кеплера или Двойной тетраэдр.

РАЗВЕРТКА ЗВЕЗДЧАТОГО ОКТАЭДРА. Развертка состоит из 24-ех правильных тре-угольников, кроме того, развертка включает в себя еще и клапаны.

КАК СДЕЛАТЬ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ОКТАЭДР ПО РАЗВЕРТКЕ. Согнуть развертку по всем необходимым линиям. Если развертка выполнена на плотной бумаге, то по всем линиям сгиба провести по изнанке острым краем ножниц. Если хотите получить двухцветный тетраэдр, то раскрасьте треугольнички, отмеченные точками, другим цветом.

Вариант развертки

фото Наты

ВНЕШНИЙ ВИД. Звездный октаэдр представляет собой конгломерат из двух правильных тетраэдров.

Posted in |

РАЗВЕРТКА ДОДЕКАЭДРА

ДОДЕКАЭДР — один из пяти правильных многогранников, так называемое Платоновское тело.

НАЗВАНИЕ. В переводе «додекаэдр» значит — «12 граней

В ЧИСЛОВОМ ВЫРАЖЕНИИ. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин, 30 ребер.

РАЗВЕРТКА ДОДЕКАЭДРА. Развертка состоит из двенадцати правильных пяти-угольников, кроме того, развертка включает в себя еще и клапаны.

КАК СДЕЛАТЬ ДОДЕКАЭДР ПО РАЗВЕРТКЕ. Согнуть развертку по всем необходимым линиям «горой». Если развертка выполнена на плотной бумаге, то по всем линиям сгиба провести по изнанке острым краем ножниц.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ. В каждой вершине додекаэдра сходится три пяти-угольника

СТИХИИ. По мнению некоторых средневековых ученых, додекаэдру соответствует Эфир (то есть пустота)

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости.

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»

В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство Пуанкаре

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II-III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Древние мудрецы говорили: «Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое». В плане сакральных сил додекаэдр самый мощный многогранник. Не зря Сальвадор Дали для своей «Тайной вечере» выбрал эту фигуру. В ней от двенадацати пятиугольников — тоже сильной фигуре, силы концентрируются в одной точке — на Иисусе Христе.

А теперь взгляните да додекаэдр и осознайте, что число 5 формирует КРИСТАЛЛ СИЛЫ.

Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и икосаэдром). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.

ДОДЕКАЭДР В ПРИРОДЕ. Кристалл пирита — сернистого колчедана — FeS2 — очень красив, и, по легенде, именно он подсказал грекам идею «правильного» додекаэдра.

Если длину ребра додекаэдра принять за , то площадь всей поверхности додекаэдра равна

Радиус сферы, описанной вокруг дадекаэдра, рассчитывается следующим образом:

Расчет радиуса сферы, вписанной в додекаэдр можно сделать так:

Додекаэдр - очень необычная объемная фигура, состоящая из 12 одинаковых граней, каждая из которых представляет собой Чтобы собрать додекаэдр своими руками, вовсе не обязательно обладать особыми навыками с этой задачей справится даже ребенок. Немного сноровки, и у вас обязательно все получится!

Необходимые материалы и инструменты

  • Лист белой и цветной бумаги. Оптимальная плотность - 220 г/м 2 . Очень тонкая бумага слишком сильно мнется при сборке, а очень толстый картон изламывается на сгибах.
  • Развертка додекаэдра (шаблон).
  • Тонкий или очень острые ножницы.
  • Простой карандаш или маркер.
  • Транспортир.
  • Длинная линейка.
  • Жидкий клей.
  • Кисточка.

Инструкция

  1. Если у вас есть принтер, то можно распечатать шаблон сразу на листе, но его вполне можно начертить самостоятельно. Пятиугольники строятся с помощью транспортира и линейки, угол между соседними линиями должен составлять ровно 108 о, подбирая длину грани можно сделать большой или маленький додекаэдр. Развертка представляет собой 2 соединенных «цветка», состоящих из 6 фигур. Обязательно оставьте небольшие припуски, они нужны для склеивания.
  2. Аккуратно вырежьте заготовку ножницами или ножом на специальном чтобы не повредить поверхность стола. Далее пройдитесь по местам сгибов острым углом линейки, это заметно облегчит сборку фигуры и сделает грани более аккуратными.
  3. С помощью кисточки нанесите на припуски немного клея и соберите фигуру подгибая края внутрь. Если вы решили сделать додекаэдр своими руками, а под рукой не оказалось даже скотча, вырежьте припуски одной половины шаблона в виде удлиненных треугольников, а на сгибах второй части сделайте небольшие разрезы. Затем просто вставьте краешки в пазы, и конструкция будет довольно прочно держаться.

Готовую фигуру можно разрисовать или украсить наклейками. Модель большого размера можно превратить в оригинальный календарь, ведь количество сторон соответствует количеству месяцев в году. Если вы увлекаетесь японским можно сделать додекаэдр своими руками в технике модульного оригами.

  1. Подготовьте 30 листов обычной офисной бумаги. Хорошо если они будут цветными и двухсторонними, можно выбрать несколько оттенков.
  2. Изготовление модулей. Мысленно расчертите лист на четыре одинаковые полоски и сложите гармошкой. Загните углы в на одну сторону в противоположных направлениях, получившаяся фигура должна напоминать параллелограмм. Осталось перегнуть заготовку по короткой диагонали. Сделайте 30 модулей и приступайте к сборке.
  3. Додекаэдр имеет 10 узлов, каждый собирается из трех элементов. Подготовьте все части и вложите их друг в друга. Чтобы модули не разъезжались, фиксируйте стыки скрепками, когда вы полностью соберете фигуру, их можно будет убрать.

Когда только вы освоите понравившуюся вам технику, можно научить собирать додекаэдр своими руками вашего ребенка или товарища. Ведь изготовление объемных фигур не только хорошо развивает моторику пальцев, но и формирует пространственное воображение.

Додекаэдр - это объемная геометрическая фигура, которая имеет 12 граней. Это основная его характеристика, поскольку количество вершин и число ребер могут изменяться. Рассмотрим в статье свойства этой фигуры, ее использование в настоящее время, а также некоторые интересные исторические факты, связанные с ней.

Общие понятия о фигуре

Додекаэдр - это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает "фигура с 12-ю гранями". Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.

Геометрические свойства правильного додекаэдра

Рассмотрев вопрос о том, что такое додекаэдр, можно перейти к характеристике основных свойств правильной объемной фигуры, то есть образованной одинаковыми пятиугольниками.

Поскольку рассматриваемая фигура является объемной, выпуклой и состоит из многоугольников (пентагонов), то для нее справедливо правило Эйлера, которое устанавливает однозначную зависимость между числом граней, ребер и вершин. Оно записывается в виде: Г + В = Р + 2, где Г - количество граней, В - вершин, Р - ребер. Зная, что правильный додекаэдр - это двенадцатигранник, число вершин которого составляет 20, то, используя правило Эйлера, получаем: Р = Г + В - 2 = 30 ребер. Углы между соседними гранями этой платоновской фигуры являются одинаковыми, они равны 116,57 o .

Математические формулы для правильного додекаэдра

Ниже приведем основные формулы додекаэдра, который состоит из правильных пятиугольников. Эти формулы позволяют вычислить площадь его поверхности, объем, а также определить радиусы сфер, которые можно вписать в фигуру или описать вокруг нее:

  • Площадь поверхности додекаэдра, которая представляет собой произведение 12-ти площадей пятиугольников со стороной "a", выражается следующей формулой: S = 3*√(25 + 10*√5)*a 2 . Для приблизительных расчетов можно пользоваться выражением: S = 20,65*a 2 .
  • Объем правильного додекаэдра, как и его суммарная площадь граней, однозначно определяется из знания стороны пятиугольника. Эта величина выражается следующей формулой: V = 1/4*(15 + 7*√5)*a 3 , что приблизительно равно: V = 7,66*a 3 .
  • Радиус вписанной окружности, которая касается внутренней стороны граней фигуры в их центре, определяется так: R 1 = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), или приблизительно R 1 = 1,11*a.
  • Описанную окружность проводят через 20 вершин правильного додекаэдра. Ее радиус определяется формулой: R 2 = √6/4*a*√(3 + √5), или приблизительно R 2 = 1,40*a. Приведенные цифры говорят, что радиус внутренней сферы, вписанной в додекаэдр, составляет 79 % от такового для описанной сферы.

Симметрия правильного додекаэдра

Как видно из рисунка выше, додекаэдр - это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.

Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.

Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:

  • 6 осей пятого порядка (то есть поворот фигуры осуществляется на угол 360/5 = 72 o), которые проходят через центры расположенных напротив друг друга пятиугольников;
  • 15 осей второго порядка (симметричный угол поворота равен 360/2 = 180 o), которые соединяют середины противоположных ребер октаэдра;
  • 15 плоскостей отражения, проходящих через расположенные напротив ребра фигуры;
  • 10 осей третьего порядка (операция симметрии осуществляется при повороте на угол 360/3 = 120 o), которые проходят через противоположные вершины додекаэдра.

Современное использование додекаэдра

В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:

  • Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр - это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.

  • Источники звука. Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.

Историческая справка

Как выше было сказано, додекаэдр - это одно из пяти платоновых тел, которые характеризуются тем, что образованы одинаковыми правильными многогранниками. Остальными четырьмя платоновыми телами являются тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр.

Упоминания о додекаэдре относятся еще к вавилонской цивилизации. Однако первое подробное изучение его геометрических свойств сделали древнегреческие философы. Так, Пифагор в качестве эмблемы своей школы использовал пятиконечную звезду, построенную на вершинах пентагона (грани додекаэдра).

Платон подробно охарактеризовал правильные объемные фигуры. Философ считал, что они представляют главные стихии: тетраэдр - это огонь; куб - земля; октаэдр - воздух; икосаэдр - вода. Поскольку додекаэдру не досталась никакая стихия, то Платон предположил, что он описывает развитие всей Вселенной.

Мысли Платона многие могут посчитать примитивными и псевдонаучными, однако вот что любопытно: современные исследования наблюдаемой Вселенной показывают, что приходящее на Землю космическое излучение обладает анизотропией (зависимостью от направления), и симметрия этой анизотропии хорошо согласуется с геометрическими свойствами додекаэдра.

Додекаэдр и сакральная геометрия

Священная геометрия представляет собой совокупность псевдонаучных (религиозных) знаний, которые приписывают различным геометрическим фигурам и символам определенное сакральное значение.

Значение многогранника додекаэдра в сакральной геометрии заключается в совершенности его формы, которую наделяют способностью приводить окружающие тела в гармонию и равномерно распределять энергию между ними. Додекаэдр считается идеальной фигурой для практики медитации, поскольку он играет роль проводника сознания в иную реальность. Ему приписывают способность снимать стресс у человека, восстанавливать память, улучшать внимание и концентрационные способности.

Римский додекаэдр

В середине XVIII века в результате некоторых археологических раскопок на территории Европы был найден странный предмет: он имел форму додекаэдра, сделанного из бронзы, его размеры составляли несколько сантиметров, и он был пустым внутри. Однако любопытно следующее: в каждой его грани было сделано отверстие, причем диаметр всех отверстий был различным. В настоящее время найдено более 100 таких объектов в результате раскопок во Франции, Италии, Германии и других стран Европы. Все эти предметы датируются II-III веком нашей эры и относятся к эпохе господства Римской Империи.

Как римляне использовали эти предметы - не известно, поскольку не найдено ни одного письменного источника, который бы содержал точное объяснение их назначения. Лишь в некоторых трудах Плутарха можно встретить упоминание, что эти объекты служили для понимания характеристик 12-ти знаков Зодиака. Современное объяснение тайны римских додекаэдров имеет несколько версий:

  • предметы использовались в качестве подсвечников (внутри них найдены остатки воска);
  • они применялись как игральные кости;
  • додекаэдры могли служить календарем, который указывал на время посадки сельскохозяйственных культур;
  • могли они применяться в качестве основы для крепления римского военного штандарта.

Существуют и другие версии использования римских додекаэдров, тем не менее ни одна из них не имеет точных доказательств. Известно лишь одно: древние римляне высоко ценили эти предметы, поскольку в раскопках они часто обнаруживаются в тайниках вместе с золотом и драгоценностями.