איך להכין מחומש תלת מימדי מנייר. דמויות גיאומטריות

דודקהדרון הוא דמות תלת מימדית המורכבת משנים עשר מחומשים. כדי לקבל את הנתון הזה, תחילה עליך לצייר את הסוויפ שלו נייר עבה, ואחרי זה לאסוף אותו מהסוויפ הזה בחלל.

אתה תצטרך

• - נייר עבה;
• - עיפרון;
• - מצפן;
• - סרגל;
• - כיכר;
• - חתיכת חוט דק;
• - מספריים;
• - דבק.

הוראה

1. התחל בציור מחומש חיובי מרכזי. כדי לעשות זאת, צייר עיגול עם מצפן. צייר קוטר דרך המרכז שלו. עכשיו צריך לחלק אותו לשלושה חלקים. ישנו משפט המוכיח כי תלת חתך (כלומר חלוקה של קטע או זווית לשלושה חלקים זהים) באמצעות סרגל ללא חלוקות ומצפן אינה מתקבלת על הדעת. לכן או למדוד את הקוטר עם סרגל ולחלק אותו לשלוש, ואז לסמן עליו את הנקודות המתאימות על ידי חלוקת הסרגל, או למדוד אותו עם חתיכת חוט דק, לקפל אותו שלוש פעמים, ואז ליישר אותו, לשים אותו על הקוטר ולסמן את הנקודות בכיפופים.

2. כתוצאה מחלוקת הקוטר לשלושה חלקים יתקבלו עליו שתי נקודות. צייר מאונך דרך אחד מהם לקוטר באמצעות ריבוע. הוא יחצה את המעגל ב-2 מקומות. מכל אחד מהם צייר קרן העוברת דרך הנקודה השנייה בקוטר. הם יחצו את המעגל בעוד 2 מקומות, אבל המקום החמישי של הצומת יוצר את הקוטר עצמו. נשאר רק לשלב אותם אחד עם השני, ואתה מקבל מחומש חיובי רשום במעגל.

3. צייר עוד אחד עשר מחומשים באותו אופן, מסדר אותם כך שמתקבלת דמות דומה לזו המוצגת באיור. צייר עלי כותרת קטנים לצדדים שלו בצד כדי להקל על ההדבקה. לאחר מכן גזרו אותו והדביקו אותו. מה שאמור להתברר כתוצאה מכך מוצג באיור בכותרת המאמר.

4. מהעובדה שלדודקהדרון יש בדיוק שנים עשר פרצופים, בצורה של דמות זו מותר לייצר לוחות שנה שולחניים נפחיים ויציבים. כדי לעשות זאת, תחילה צייר על כל הפנים על פי לוח השנה למשך חודש, ורק לאחר מכן חתוך והדבק את הדמות. כמו כן, ניתן להפיק לוח שנה כזה באופן מכני על ידי לחיצה על הקישור למטה. השנה נקבעת באופן מכני על ידי השעון המובנה של השרת, ושפת שמות החודשים וימי השבוע נקבעת על פי הגדרות הדפדפן שלך.

דודקהדרוןנקרא פולידרון חיובי שפניו הם שנים עשר מחומשים חיוביים. הפוליהדרון החיובי הפשוט ביותר לבנייה הוא משושה או קובייה; ניתן לבנות את כל הפוליהדרות האחרות על ידי רישום או תיאורן סביבו. ניתן להקים את הדודקהדרון על ידי תיאורו סביב קובייה.

הוראה

1. בנה קובייה עם אורך קצה a. חשב את אורך הדודקהדרון בבנייה באמצעות הנוסחה: m = -a / 2 + av5 / 2, כאשר a הוא אורך קצה הקובייה.

2. בקצה ה-SPRQ צייר קו K1L1 המחבר את נקודות האמצע של הצלעות. על קו זה, הניחו בצד קטע באורך מ', במרחק שווה מקצוות הקובייה. דרך קצוות הקטע, צייר ניצבים לפנים של SPRQ.

3. בנה מחומש ABCDE עם אלכסונים AC ו-BE. AB=BC=a. חשב את גובה המשולש ABC ותייג אותו s = BN.

4. מצא נקודות על ניצבים, המרחק מהם לנקודות האמצע של הקצוות שווה ל- s, כלומר LL1 = KK1 = s. מיזוג את הנקודות שהתגלו כעת עם קודקודי הקובייה.

5. חזור על קונסטרוקציות 2 ו-4 עבור כל פנים, כתוצאה מכך תקבל פוליהדרון חיובי המתואר ליד הקובייה - דודקהדרון.

סרטונים קשורים

אתה תצטרך

• - תבנית (סוויפ) של הדודקהדרון;
• - סרגל;
• - מספריים או סכין נייר מכתבים;
• - טוש או טוש;
• - דבק;
• - נייר או קרטון בצפיפות מתאימה;
• - מד זווית.

הוראה

הדפס במדפסת. גזרו את הצורה מהתבנית. כופפו בעדינות את הקפלים בעזרת סרגל ודבק. יש צורך למרוח דבק על "עלי הכותרת" המהודקים זה לזה, ולא על כל פני הדודקהדרון. כדי להפוך את הדמות המוגמרת לאטרקטיבית, דחוף קלות את הקפלים הצד האחוריסכין, וצבוע מעל שגיאות, חתכים או שפשופים עם טוש או טוש.

אם אין לך מדפסת, צור תבנית דודקהדר משלך באמצעות מד זווית. התחל בבניית המחומש המרכזי. כדי לבנות מחומש בצורה נכונה, זכור שהזווית בין שתי צלעותיו היא 108°.

צייר מחומש באותו גודל לכל צד של הדמות המתקבלת. בסך הכל, אמורים להתברר 6 מחומשים - סוג עם עלי כותרת. עשה את אותו הדבר שוב, לא לשכוח שאתה צריך לחבר את "עלי הכותרת" של שני "פרחים" בצד.

אם ברצונכם להדביק את הדודקהדרון, אך לא היה דבק בהישג יד, בצעו חתכים לאורך קווי הקיפול עד לאמצע הקיפול נגד כיוון השעון או בכיוון השעון - מה שהכי נוח לכם. ואז פשוט הכנס את הצדדים של הדודקהדרון העתידי לאורך הפרצופים המחורצים זה לזה, הם יחזיקו בצורה מאובטחת למדי.

דרך נוספת ליצור דודקהדרון היא ליצור ממנו פריסת אוריגמי. כעוזר, השתמש בהוראה מהאינטרנט. צריך 30 גיליונות נייר, יהיה יפה יותר בשימוש נייר צבעוני. קח דף אחד וקפל אותו לשניים. לאחר מכן מקפלים שוב את חצאי הסדין לשניים צדדים הפוך, כך שתקבלו שלושה קווי קיפול ודמות בצורת מניפה.

לאחר מכן, עטפו כל צד בזווית ישרה, קפלו את המודול באלכסון. עשה את אותו הדבר עם שני הגיליונות האחרים. שלושת המודולים הללו הם הקודקוד הראשון של הדודקהדרון. מ-27 גיליונות, צור את המודולים הנותרים לפי העיקרון שתואר לעיל, קנה את המודולים זה בזה. קבלו דודקהדרון אוריגמי מרהיב.

הערה

צפיפות הנייר האופטימלית לייצור דודקהדרון היא 220 גרם/מ"ר. יותר נייר דקקמטים בתהליך העבודה, ועבים מאוד - שברים לאורך הקפלים.

עצה מועילה

בתהליך הרכבת הדודקהדרון האוריגמי, מהדקים את המודולים באטבי נייר או מדביקים את המפרקים, מכיוון שהם יכולים להסתובב - הדמות הופכת יציבה רק בסוף הייצור.

מקורות:

• הוראת וידאו דודקהדר אוריגמי
• פיתוח של דודקהדרון רגיל
• היקום כדודקהדרון

ישנן דרכים רבות להדביק שני קטעי וידאו יחד. יחד עם זאת, זה ממש לא הכרחי להתקין עורך וידאו מורכב במחשב שלך. האפשרויות של תוכנית Movie Maker מספיקות.

אתה תצטרך

• - תוכנית Movie Maker;
• - קבצי וידאו.

הוראה

ייבא את אלה שאתה הולך להדביק לתוך Movie Maker. לשם כך, פתחו את חלון האקספלורר על גבי חלון עורך הווידאו הפתוח, בחרו את הקבצים שאתם מעוניינים בהם על ידי לחיצה ממושכת על מקש Ctrl וגררו אותם לחלון התוכנית עם העכבר. Movie Maker אינו מפצל קבצים שיובאו בדרך זו לקליפים. זה יקל על העבודה שלך הרבה יותר.

העבר את הסרטונים שיצטרפו לציר הזמן. לשם כך, לחץ על הרשימה הנפתחת "אוספים". ברשימה זו, בחר את הסרטון שממנו יתחיל הקובץ לצירוף. הסרטון שנבחר יופיע כתמונה ממוזערת בחלון התוכנית. השתמש בעכבר כדי לגרור את התמונה הממוזערת אל ציר הזמן. בחר את הקובץ הבא מהרשימה הנפתחת "אוספים" וגרור אותו לציר הזמן באותו אופן.

שמור את הסרטון המודבק. לשם כך, לחץ על המשולש מימין לפריט "השלמת יצירת הסרט".
בחר באפשרות "שמור למחשב". ציין שם קובץ. ציין את המיקום בכונן הקשיח שבו יישמר הסרטון הממוזג. לחץ על כפתור "הבא".
כברירת מחדל, התוכנית מבקשת ממך לשמור את הקובץ מידה גדולהבאיכות מקסימלית. אם אתה רוצה לראות סרטון קטן יותר, לחץ על הכיתוב "הצג אפשרויות נוספות", בחר באפשרות "הגדרות אחרות" וציין את האפשרויות הרצויות.
לאחר לחיצה על כפתור "הבא", הקובץ יישמר. המתן עד שתהליך זה יסתיים.

עצה מועילה

אם לסרטונים שאתה צריך לחבר יש סיומת .avi, אתה יכול למזג אותם באמצעות תוכנית VirtualDub.

פתח את הקובץ הראשון עם הפקודה פתח קובץ וידאו מתפריט קובץ.

פתח את הפרגמנט השני עם הפקודה Append AVI segment מאותו תפריט File.

שמור את הסרטון המודבק באמצעות הפקודה Save as avi מתפריט File. הכניסו את שם הקובץ בחלון שנפתח, לחצו על כפתור "שמור" והמתינו עד לסיום השמירה.

מקורות:

• מיזוג קבצי וידאו עם Movie Maker בשנת 2019

עץ כִּסֵאיש הרבה חלקים המחוברים בתפרי דבק. התפרים עשויים להתפרק עם הזמן. הבעיה היא שהעץ יתכווץ כשהוא מתייבש. כתוצאה מכך, החיבורים משתחררים או מתפצלים לחלוטין. דבק ישן עלול לאבד את תכונותיו, מה שיוביל גם לשבירה. כִּסֵאא.

הוראה

הכי קל לתיקון כִּסֵא ya, שיש להם רגליים מוכנסות ישירות למושב, המורכבות מלוח עבה אחד. יש לשלוף את רגל הנדנדה החוצה. לאחר מכן, אתה צריך לגרד את הדבק הישן. לאחר מכן מרחו דבק טרי על הרגל. הרגל מוכנה. נותר רק להכניס אותו היטב בחזרה למושב.

הרבה יותר קשה לתקן כִּסֵאאני עם המלך מתחת למושב. גם קשה לתיקון. כִּסֵא ev, שיש להם מוטות צולבים בין הרגליים. לעיצובים כאלה יש הרבה מפרקים משובצים על הדבק. זו הסיבה לפרק כִּסֵאצריך להיות זהיר ביותר. אם רק תפר אחד התפרק, אז יש צורך לעשות חור דק במקום הזה. דרכו, באמצעות מזרק חד פעמי, יש צורך להזריק דבק. החלק הפגוע ייעשה.

לאחר מכן, אתה צריך להבין איך להדביק כראוי את הרגליים. ישן כִּסֵא ya, אשר עשויים מעץ מלא בסוף האחרון - תחילת המאה שלנו, יש את החיבור הרגיל של הרגליים הקדמיות עם המושב. הם משובצים במסגרת מתחת למושב. העיצוב הזה הוא שמתרופף ונשבר במהירות. גם אם ביטלת פגם כזה, אז בעוד כמה שנים תצטרך לעשות תיקונים שוב. כל כִּסֵאטעון מלמעלה. זה כל הזמן זז, מוטה, מסודר מחדש, וזו הסיבה שמפרקי הדבק מתרופפים. בעיצוב זה, הרגל היא ממש מנוף שיכול בקלות לפרק את קו הדבק. על מנת שהמבנה יחזור להיות יציב, יש צורך להסיר את הרגל המהדהדת מהמסגרת, ולאחר מכן להדביק אותה שוב.

בעזרת סכין או אזמל, הסר את הדבק הישן שנמצא בקצה העליון של הרגל. עשה זאת בזהירות כדי לא לשרוט את העץ. בעיות עם כִּסֵאיאמי יכול להתרחש בשל העובדה כי הרגליים שלהם גודל שונה. הקפד לשים לב לכך.

סרטונים קשורים

הדגמה חזותית מבהירה אפילו את ההסבר המורכב ביותר. לכן, אם אתה צריך להדגים את הרעיון שלך בצורה נגישה ויעילה ולהדביק אחרים ברעיון, השלם את הפרויקט שלך. מַעֲרָךמודבק מנייר.

הוראה

גלה את כל הפרמטרים של האובייקט שברצונך לתאר כפריסה. רשמו אותם ותרגמו אותם לסולם מתאים.

לפרק נפשית את האובייקט לצורות גיאומטריות פשוטות המרכיבות אותו. בצע סריקה של כל אחת מהדמויות, תוך התחשבות ביחס היחסי של הצדדים שלה במציאות.

הוסף 2-4 מ"מ למידות החלקים שלתוכם יוכנסו אלמנטים אחרים של הפריסה (בהתאם לעובי הנייר).

הדודקהדרון הוא דמות תלת מימדית מאוד יוצאת דופן, המורכבת מ-12 פרצופים זהים, שכל אחד מהם מייצג.כדי להרכיב דודקהדר במו ידיך, אין צורך בכלל בכישורים מיוחדים, אפילו ילד יכול להתמודד עם משימה זו. קצת מיומנות, ובהחלט תצליח!

חומרים וכלים נחוצים

• דף נייר לבן וצבעוני. צפיפות אופטימלית - 220 גרם/מ"ר. נייר דק מאוד מתקמט יותר מדי בהרכבה, וקרטון עבה מאוד נשבר בקיפול.
• רשת דודקהדרון (תבנית).
• מספריים דקות או חדות מאוד.
• עיפרון פשוט או טוש.
• מַד זָוִית.
• קו ארוך.
• דבק נוזלי.
• צִיצִית.

הוראה

1. אם יש לך מדפסת, אתה יכול להדפיס את התבנית ישירות על הגיליון, אבל אתה יכול לצייר אותה בעצמך. מחומשים בנויים באמצעות מד זווית וסרגל, הזווית בין קווים סמוכים צריכה להיות בדיוק 108 o, בבחירת אורך הפנים, אתה יכול לעשות דודקהדרון גדול או קטן. הפיתוח הוא 2 "פרחים" מחוברים, המורכבים מ-6 דמויות. הקפד להשאיר קצבאות קטנות, הם נחוצים להדבקה.
2. חותכים בזהירות את חומר העבודה עם מספריים או סכין על אחד מיוחד כדי לא לפגוע במשטח השולחן. לאחר מכן, עבור על מקומות הקפלים עם זווית חדה של הסרגל, זה יקל מאוד על הרכבת הדמות ויהפוך את הקצוות למדויקים יותר.
3. בעזרת מברשת מורחים מעט דבק על הקצבאות ומרכיבים את הדמות על ידי קיפול הקצוות פנימה. אם החלטתם לעשות דודקהדרון במו ידיכם, ואפילו לא היה לכם סרט דבק בהישג יד, גזרו את הקצבאות של חצי אחד של התבנית בצורה של משולשים מוארכים, ועשו חתכים קטנים בקפלים של החלק השני. לאחר מכן פשוט הכנס את הקצוות לתוך החריצים והמבנה יחזיק די בחוזקה.

את הדמות המוגמרת ניתן לצבוע או לעטר במדבקות. ניתן להפוך דגם גדול ללוח שנה מקורי, מכיוון שמספר הצדדים מתאים למספר החודשים בשנה. אם אתה אוהב יפנית, אתה יכול לעשות dodecahedron במו ידיך בטכניקת האוריגמי המודולרית.

1. הכן 30 גיליונות רגילים נייר משרדי. ובכן, אם הם צבעוניים ודו צדדיים, אתה יכול לבחור כמה גוונים.
2. ייצור מודולים. צייר נפשית גיליון לארבע רצועות זהות וקפל אותו כמו אקורדיון. כופפו את הפינות לצד אחד בכיוונים מנוגדים, הדמות המתקבלת צריכה להידמות מקבילית. נותר לכופף את חומר העבודה לאורך אלכסון קצר. צור 30 מודולים והתחל לבנות.
3. לדודקהדרון 10 צמתים, שכל אחד מהם מורכב משלושה אלמנטים. הכינו את כל החלקים והכניסו אותם אחד לשני. כדי למנוע מהמודולים להתרחק, תקן את המפרקים עם מהדקי נייר, כאשר אתה מרכיב את הדמות במלואה, ניתן להסירם.

ברגע שאתה שולט בטכניקה שאתה אוהב, אתה יכול ללמד את ילדך או חברך להרכיב את הדודקהדרון במו ידיך. אחרי הכל, ייצור של דמויות תלת מימדיות לא רק מפתח מיומנויות מוטוריות של האצבעות היטב, אלא גם יוצר דמיון מרחבי.

ICOSAHEDRON

סרוק את ICOSAHEDRON. הסוויפ מורכב מעשרים משולשים רגילים, בנוסף, הסוויפ כולל גם שסתומים.

איך להכין ICOSAHEDRON על ידי סריקה. לכופף את הסריקה לאורך כל הקווים הדרושים עם "הר". אם הסריקה נעשית על נייר עבה, צייר לאורך כל קווי הקיפול לצד הלא נכון קצה חדמספריים.

איך להדביק ICOSAHEDRON? לאחר כפוף הקורץ, מצפים את השסתומים בדבק (עדיף PVA), ומדביקים את הכדור בעל 20 הצדדים.

דרך אחרת להדביק את האיקוסאהדרון.

20 עיגולים נפרדים נחתכים מנייר, שאליהם כתובים משולשים רגילים.

אנו מכופפים את העיגולים המוכנים לאורך קצוות המשולש ומדביקים אותם יחד. וגם - כרצונו: קצוות כלפי חוץ או קצוות פנימה.

איקוזהדרון - זמיינוגורסק אלטאי

HERALDRY.

כדור איקוזהדרון על הסמל של העיר זמיינוגורסק, אלטאי.

שֵׁם. כוכב קפלר או טטרהדרון כפול.

סקירה של הכוכב אוקטהדרון. הסוויפ מורכב מ-24 משולשים רגילים, בנוסף, הסוויפ כולל גם שסתומים.

איך לעשות כוכב אוקטהדרון על ידי סריקה. כופפו את הסריקה לאורך כל הקווים הדרושים. אם הסריקה נעשית על נייר עבה, צייר לאורך כל קווי הקיפול לאורך החלק הפנימי עם הקצה החד של המספריים. אם אתה רוצה לקבל טטרהדרון דו-צבעי, צבע את המשולשים המסומנים בנקודות בצבע אחר.

אפשרות לטאטא

תמונה של נאטה

מראה חיצוני. אוקטדרון כוכב הוא קונגלומרט של שתי טטרהדרות רגילות.

DOVECAHEDRON REVEL

DODECAHEDRON - אחת מחמש הפוליהדרות הרגילות, מה שנקרא מוצק אפלטוני.

שֵׁם. בתרגום "דודקהדרון" פירושו - "12 פרצופים

בביטוי מספרי. לדודקהדרון 12 פנים, 20 קודקודים, 30 קצוות.

DOVECAHEDRON REVEL. החורש מורכב משנים-עשר מחומשים רגילים, בנוסף, הקורץ כולל גם שסתומים.

איך לעשות דודקאהדרון על ידי סריקה. לכופף את הסריקה לאורך כל הקווים הדרושים עם "הר". אם הסריקה נעשית על נייר עבה, צייר לאורך כל קווי הקיפול לאורך החלק הפנימי עם הקצה החד של המספריים.

בנייה מרחבית. שלושה מחומשים מתכנסים בכל קודקוד של הדודקהדרון

אלמנטים. לפי כמה חוקרים מימי הביניים, הדודקהדרון מתאים לאתר (כלומר, ריקנות)

אולי החפץ העתיק ביותר בצורת דודקהדרון נמצא בצפון איטליה, ליד פדובה, בסוף המאה ה-19, הוא מתוארך לשנת 500 לפני הספירה. ה. וככל הנראה שימש את האטרוסקים כקובייה.

הדודקהדרון נחשב בכתביהם על ידי מדענים יוונים עתיקים. אפלטון השווה בין אלמנטים קלאסיים שונים לפוליהדרות רגילות. על הדודקהדרון כתב אפלטון כי "... אלוהיו קבע את היקום ופנה אליו כמודל"

בשנת 2003, כאשר ניתחו נתונים מחללית WMAP, ההשערה הייתה שהיקום הוא חלל פואנקרה דודקהדרלי

בשטחן של כמה מדינות אירופיות, נמצאו חפצים רבים, המכונים דודקהדרונים רומאים, המתוארכים למאות ה-2-3. נ. ה., שמטרתו אינה ברורה לחלוטין.

אמרו חכמים קדמונים: "כדי להכיר את הבלתי נראה, התבונן היטב בנראה". במונחים של כוחות קדושים, הדודקהדרון הוא הפולידרון החזק ביותר. לא פלא שסלבדור דאלי בחר בדמות הזו לסעודה האחרונה שלו. בו, משנים עשר מחומשים - גם דמות חזקה, מתרכזים כוחות בנקודה אחת - על ישוע המשיח.

כעת הסתכלו על הדודקהדרון והבינו שהמספר 5 יוצר את גביש הכוח.

האיור מתייחס לאחד מחמשת המוצקים האפלטוניים (יחד עם הטטרהדרון, האוקטהדרון, המשושה (קוביה) והאיקוסהדרון). מעניין, על פי מסמכים היסטוריים רבים, כולם שימשו באופן פעיל על ידי התושבים יוון העתיקהבצורת קוביות שולחן ויוצרו ממגוון רחב של חומרים.

דודקהדרון בטבע. גביש של פיריט - פיריט גופרית - FeS2 - הוא יפה מאוד, ולפי האגדה, זה היה זה שהציע ליוונים את הרעיון של דודקהדרון "נכון".

אם אורך הקצה של הדודקהדרון נלקח כ-, אז שטח כל פני השטח של הדודקהדר שווה ל

הרדיוס של כדור המוקף סביב דדקהדרון מחושב באופן הבא:

חישוב הרדיוס של כדור הכתוב בדודקהדרון יכול להתבצע באופן הבא:

הדודקהדרון הוא דמות גיאומטרית תלת מימדית בעלת 12 פנים. זהו המאפיין העיקרי שלו, שכן מספר הקודקודים ומספר הקצוות יכולים להשתנות. שקול במאמר את המאפיינים של דמות זו, השימוש הנוכחי שלה, כמו גם כמה מעניינים עובדות היסטוריותהקשורים אליו.

מושגים כלליים על הדמות

דודקהדרון היא מילה שנלקחה משפת היוונים הקדמונים, שפירושה המילולי הוא "דמות בעלת 12 צלעות". פניו הם מצולעים. בהינתן תכונות החלל, כמו גם ההגדרה של דודקהדרון, אנו יכולים לומר שלמצולעים שלו יכולים להיות 11 צלעות או פחות. אם פני הדמות נוצרים על ידי מחומשים רגילים (מצולע בעל 5 צלעות ו-5 קודקודים), אז דודקהדרון כזה נקרא רגיל, הוא אחד מ-5 העצמים האפלטוניים.

תכונות גיאומטריות של דודקהדרון רגיל

לאחר ששקלנו את השאלה מהו דודקהדרון, נוכל להמשיך לאפיין את התכונות הבסיסיות של דמות תלת מימדית רגילה, כלומר, שנוצרה על ידי מחומשים זהים.

מכיוון שהדמות הנבחנת היא נפחית, קמורה ומורכבת ממצולעים (מחומשים), אז תקף לגביה כלל אוילר, הקובע קשר חד משמעי בין מספר הפנים, הקצוות והקודקודים. הוא כתוב כך: G + B = P + 2, כאשר G הוא מספר הפרצופים, B - קודקודים, P - קצוות. בידיעה שדודקהדרון רגיל הוא דודקהדרון, שמספר הקודקודים שלו הוא 20, אז, באמצעות כלל אוילר, אנו מקבלים: P \u003d G + B - 2 \u003d 30 קצוות. הזוויות בין הפנים הסמוכות של דמות אפלטונית זו זהות, הן שוות ל-116.57 o .

נוסחאות מתמטיות לדודקהדרון רגיל

להלן אנו נותנים את הנוסחאות הבסיסיות של הדודקהדרון, המורכב מחומשים רגילים. נוסחאות אלה מאפשרות לך לחשב את שטח הפנים שלו, נפחו, וגם לקבוע את הרדיוסים של כדורים שניתן לרשום באיור או לתאר סביבה:

• שטח הפנים של הדודקהדרון, שהוא מכפלה של 12 אזורים של מחומשים עם הצלע "a", מבוטא בנוסחה הבאה: S = 3*√(25 + 10*√5)*a 2. לחישובים משוערים, אתה יכול להשתמש בביטוי: S = 20.65 * a 2.
• נפחו של דודקהדרון רגיל, כמו גם שטח הפנים הכולל שלו, נקבע באופן ייחודי מהידע של הצד של המחומש. ערך זה מבוטא בנוסחה הבאה: V \u003d 1/4 * (15 + 7 * √5) * a 3, ששווה בערך ל: V \u003d 7.66 * a 3.
• רדיוס המעגל הכתוב, הנוגע בצד הפנימי של פני הדמות במרכזם, מוגדר כך: R 1 = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), או כ- R 1 = 1.11*a.
• המעגל המוקף מצויר דרך 20 קודקודים של דודקהדרון רגיל. הרדיוס שלו נקבע לפי הנוסחה: R 2 = √6/4*a*√(3 + √5), או R 2 בקירוב = 1.40*a. הדמויות המובאות אומרות שרדיוס הכדור הפנימי הכתוב בדודקהדרון הוא 79% מזה של הכדור המוקף.

סימטריה של דודקהדרון רגיל

כפי שניתן לראות מהאיור לעיל, הדודקהדרון הוא דמות סימטרית למדי. כדי לתאר מאפיינים אלה, הקריסטלוגרפיה מציגה את המושגים של יסודות סימטריה, שהעיקריים שבהם הם צירים סיבוביים ומישורי השתקפות.

הרעיון של שימוש באלמנטים אלה הוא פשוט: אם אתה מגדיר ציר בתוך הגביש המדובר, ולאחר מכן סובב אותו סביב הציר הזה בזווית כלשהי, אז הגביש יחפף לחלוטין עם עצמו. כך גם לגבי המטוס, רק פעולת הסימטריה כאן היא לא סיבוב הדמות, אלא השתקפותה.

לדודקהדרון יש את מרכיבי הסימטריה הבאים:

• 6 צירים מהסדר החמישי (כלומר, הדמות מסובבת בזווית של 360/5 = 72 o), העוברים דרך מרכזי המחומשים הממוקמים זה מול זה;
• 15 צירים מהסדר השני (זווית הסיבוב הסימטרית היא 360/2 = 180 o), המחברים את נקודות האמצע של הקצוות המנוגדים של האוקטהדרון;
• 15 מישורי השתקפות העוברים דרך הדמויות הממוקמות מול הקצוות;
• 10 צירים מהסדר השלישי (פעולת הסימטריה מתבצעת בעת סיבוב בזווית של 360/3 = 120 o), העוברים דרך הקודקודים המנוגדים של הדודקהדרון.

שימוש מודרני בדודקהדרון

נכון לעכשיו, אובייקטים גיאומטריים בצורת דודקהדרון משמשים באזורים מסוימים של פעילות אנושית:

• קוביות למשחקי לוח.מכיוון שהדודקהדרון הוא דמות אפלטונית בעלת סימטריה גבוהה, ניתן להשתמש בחפצים בעלי צורה זו במשחקים שבהם המשך האירועים הסתברותי. רוב הקוביות עשויות בצורת מעוקב, מכיוון שהן הקלות ביותר להכנה משחקים מודרנייםהופכים מורכבים ומגוונים יותר, מה שאומר שהם דורשים עצמות עם כמות גדולההזדמנויות. קוביות בצורת דודקהדרון משמשות במשחק תפקידים משחק לוחמבוכים ודרקונים. תכונה של עצמות אלה היא שסכום המספרים הממוקמים על פניים מנוגדים שווה תמיד ל-13.

• מקורות קול.רמקולים מודרניים עשויים לרוב בצורת דודקהדרון מכיוון שהם מפיצים צליל לכל הכיוונים ומגנים עליו מפני רעשי הסביבה.

התייחסות היסטורית

כפי שהוזכר לעיל, הדודקהדרון הוא אחד מחמשת המוצקים האפלטוניים, המתאפיינים בכך שהם נוצרים על ידי רב-הידרה רגילה זהה. ארבעת המוצקים האפלטוניים האחרים הם הטטרהדרון, האוקטהדרון, הקובייה והאיקוסהדרון.

אזכורים של הדודקהדרון מתוארכים לציוויליזציה הבבלית. עם זאת, המחקר המפורט הראשון של תכונותיו הגיאומטריות נעשה על ידי פילוסופים יוונים עתיקים. אז, פיתגורס השתמש בכוכב מחומש שנבנה על ראשי המחומש (היבטי הדודקהדרון) כסמל בית הספר שלו.

אפלטון תיאר בפירוט את הנכון דמויות תלת מימדיות. הפילוסוף האמין שהם מייצגים את היסודות העיקריים: הטטרהדרון הוא אש; קובייה - אדמה; אוקטהדרון - אוויר; icosahedron - מים. מכיוון שהדודקהדרון לא קיבל שום יסוד, אפלטון הציע שהוא מתאר את התפתחות היקום כולו.

מחשבותיו של אפלטון עשויות להיחשב בעיני רבים כפרימיטיביות ופסאודו-מדעיות, אבל זה מה שמסקרן: מחקר מודרנישל היקום הנצפה מראים שלקרינה קוסמית המגיעה לכדור הארץ יש אניזוטרופיה (תלות בכיוון), והסימטריה של האניזוטרופיה הזו עולה בקנה אחד עם התכונות הגיאומטריות של הדודקהדרון.

דודקהדרון וגיאומטריה מקודשת

גיאומטריה מקודשת היא אוסף של ידע פסאודו-מדעי (דתי) המייחס משמעות קדושה מסוימת לצורות וסמלים גיאומטריים שונים.

המשמעות של רב-הדודקהדרון בגיאומטריה המקודשת טמונה בשלמות צורתו, שניחנה ביכולת להביא את הגופים הסובבים להרמוניה ולחלק ביניהם אנרגיה באופן שווה. הדודקהדרון נחשב דמות מושלמתלתרגול מדיטציה, שכן היא ממלאת את התפקיד של מוליך תודעה למציאות אחרת. מיוחסת לו היכולת להפיג מתחים בבני אדם, לשחזר את הזיכרון, לשפר את יכולות הקשב והריכוז.

דודקהדרון רומאי

באמצע המאה ה-18, כתוצאה מכמה חפירות ארכיאולוגיות באירופה, נמצא חפץ מוזר: היה לו צורה של דודקהדרון עשוי ברונזה, מידותיו היו כמה סנטימטרים ובתוכו היה ריק. עם זאת, מוזרים הדברים הבאים: בכל אחד מהפנים שלו נוצר חור, וקוטר כל החורים היה שונה. נכון לעכשיו, יותר מ-100 חפצים כאלה נמצאו כתוצאה מחפירות בצרפת, איטליה, גרמניה ומדינות אחרות באירופה. כל הפריטים הללו מתוארכים למאה ה-2-3 לספירה ושייכים לעידן השליטה של ​​האימפריה הרומית.

לא ידוע כיצד השתמשו הרומאים בחפצים אלו, שכן לא נמצא מקור כתוב אחד שיכיל הסבר מדויק למטרתם. רק בכמה יצירות של פלוטארכוס אפשר למצוא אזכור שחפצים אלה שימשו להבנת המאפיינים של 12 המזלות. להסבר המודרני של המסתורין של הדודקהדרונים הרומיים יש כמה גרסאות:

• חפצים שימשו כפמוטים (בתוכם נמצאו שרידי שעווה);
• הם שימשו כקוביות;
• הדודקהדרונים יכולים לשמש לוח שנה המציין את זמן נטיעת היבולים;
• הם יכולים לשמש כבסיס לחיזוק התקן הצבאי הרומי.

ישנן גרסאות אחרות לשימוש בדודקהדרונים רומיים, אולם לאף אחת מהן אין ראיות מדויקות. רק דבר אחד ידוע: הרומאים הקדמונים העריכו מאוד את הפריטים הללו, כי בחפירות הם נמצאים לעתים קרובות במקומות מסתור יחד עם זהב ותכשיטים.