כאשר נקבעו מספרים שליליים במדע. פרויקט "האם נחוצים מספרים שליליים?"

חלינה אירינה

מצגת על ההיסטוריה של מספרים שליליים.

הורד:

תצוגה מקדימה:

כדי להשתמש בתצוגה המקדימה של מצגות, צור חשבון Google (חשבון) והיכנס: https://accounts.google.com

כתוביות של שקופיות:

מספרים שליליים חלינה אירינה

מתמטיקה - vivat! תהילה, תהילה, תהילה! אל תעשה לה סרנדות, אל תצעק לה בראבו. פעם היו 2 מספרים, חי, לא התאבל. אחד הוא מינוס, השני הוא יתרון, היינו חברים בעליזות. סימנים שונים בכל דבר, אבל אתה יכול לשים, כדי להוסיף את המספר, אשר צריך להיות. פלוס על פלוס - נקבל פלוס, פלוס על מינוס - יהיה מינוס. ובכן, אם נוסיף (-20) (-8), אז בסופו של דבר נקבל את המספר (-28).

מספר שלילי מספר שלילי הוא מרכיב מקבוצת המספרים השליליים, אשר (יחד עם אפס) הופיע במתמטיקה כאשר האוסף הורחב. מספרים טבעיים. מטרת ההרחבה היא לספק פעולת חיסור עבור כל מספר. כתוצאה מההרחבה מתקבלת קבוצה (טבעת) של מספרים שלמים המורכבת ממספרים חיוביים (טבעיים), מספרים שליליים ואפס. כל המספרים השליליים, ורק הם, קטנים מאפס. על ציר המספרים, מספרים שליליים ממוקמים משמאל לאפס. עבורם, כמו גם עבור מספרים חיוביים, מוגדר יחס סדר המאפשר להשוות מספר שלם אחד למשנהו.

התייחסות להיסטוריהההיסטוריה אומרת שאנשים לא יכלו להתרגל למספרים שליליים במשך זמן רב. מספרים שליליים נראו להם בלתי מובנים, לא נעשה בהם שימוש, הם פשוט לא ראו את המשמעות שבהם. מספרים חיוביים פורשו כ"רווח", ושלילי - כ"חוב", "הפסד". במצרים העתיקה, בבל ו יוון העתיקהלא השתמשו במספרים שליליים, ואם התקבלו שורשים שליליים של משוואות (במחסור), הם נדחו כבלתי אפשריים. בפעם הראשונה, מספרים שליליים אושרו חלקית בסין, ולאחר מכן (מהמאה ה-7 בערך) בהודו, שם הם פורשו כחוב (מחסור), או הוכרו כשלב ביניים, שימושי לחישוב הסופי, תוצאה חיובית. אבל לא היו סימני + או - בימי קדם לא למספרים ולא לפעולות. נכון, כפל וחילוק למספרים שליליים עדיין לא הוגדרו. היוונים גם לא השתמשו בסימנים בהתחלה, עד שדיופנטוס מאלכסנדריה במאה ה-3 החל להשתמש בסימן "-" בעת פתרון משוואות ליניאריות. הסימן "+" הופיע כתוצאה מהפעולה ההפוכה לסימן "-" על ידי מחיקת המינוס. זה היה מאוד דומה לפלוס שאנחנו משתמשים בו עכשיו. הוא כבר הכיר את כלל הסימנים וידע להכפיל מספרים שליליים. עם זאת, הוא ראה בהם רק ערכים זמניים.

התועלת והחוקיות של מספרים שליליים נקבעו בהדרגה. המתמטיקאי ההודי ברהמגופטה (המאה השביעית) כבר ראה אותם בשורה אחת עם אלה החיוביים. באירופה, ההכרה הגיעה אלף שנים מאוחר יותר, וגם אז במשך זמן רב מספרים שליליים נקראו "שקרי", "דמיוני" או "אבסורדי". אפילו פסקל חשב ש-0 − 4 = 0, מכיוון ששום דבר לא יכול להיות פחות מכלום. בומבלי וג'ירארד, להיפך, ראו מספרים שליליים מקובלים למדי ושימושיים, במיוחד כדי להצביע על היעדר משהו. הד לאותם זמנים הוא העובדה שבחשבון המודרני פעולת החיסור וסימן המספרים השליליים מסומנים באותו סמל (מינוס), אם כי מבחינה אלגברית מדובר במושגים שונים לחלוטין. במאה ה-17, עם הופעת הגיאומטריה האנליטית, מספרים שליליים קיבלו ייצוג גיאומטרי חזותי על קו המספרים. מרגע זה מגיע השוויון המוחלט שלהם. אף על פי כן, תורת המספרים השליליים הייתה בחיתוליה במשך זמן רב. לדוגמה, הפרופורציה המוזרה 1: (-1) = (-1): 1 נדונה באופן פעיל - בו המונח הראשון משמאל גדול מהשני, ומימין - להיפך, ומסתבר ש הגדול יותר שווה לקטן ("הפרדוקס של ארנו"). לא היה ברור גם מה המשמעות של הכפל של המספרים השליליים, ומדוע המכפלה של המספרים השליליים היא חיובית; היו דיונים סוערים בנושא זה. תיאוריה שלמה וקפדנית למדי של מספרים שליליים נוצרה רק במאה ה-19 על ידי ויליאם המילטון והרמן גרסמן.

מאפיינים של מספרים שליליים מספרים שליליים פועלים כמעט לפי אותם כללים אלגבריים כמו מספרים טבעיים, אבל יש להם כמה מוזרויות. אם קבוצה כלשהי של מספרים חיוביים מוגבלת מתחת, אז כל קבוצה של מספרים שליליים מוגבלת למעלה. כאשר מכפילים מספרים שלמים, חל כלל הסימנים: מכפלת המספרים עם סימנים שוניםשלילי, עם אותו הדבר - חיובי. כאשר שני הצדדים של אי השוויון מוכפלים במספר שלילי, סימן אי השוויון מתהפך. לדוגמה, הכפלת אי השוויון 3 -10. כאשר מחלקים עם שארית, למנה יכולה להיות כל סימן, אבל השארית, לפי מוסכמה, היא תמיד לא שלילית (אחרת היא לא מוגדרת באופן ייחודי). לכל מספר טבעי (n) יש מספר שלילי אחד ויחיד, המסומן ב-(-n), המשלים את n עד אפס: שני המספרים נקראים הפכים זה מזה. הפחתת מספר שלם (א) ממספר שלם אחר (ב) שווה ערך להוספת b עם הסימן ההפוך של a: (b)+ (-a)

כללים בסיסיים כלל 1. הסכום של שני מספרים שליליים הוא מספר שלילי השווה לסכום המודולים של המספרים הללו. דוגמה - סכום המספרים (-3) ו-(-8) שווה למינוס 11. כלל 2. המכפלה של שני מספרים בעלי סימנים שונים הוא מספר שלילי, שהמודלוס שלו שווה למכפלת המודולים של הגורמים. דוגמה - המכפלה של מינוס שלוש וחמש שווה למינוס חמש עשרה, כי כשמכפילים שני מספרים עם סימנים שונים מתקבל מספר שלילי, והמודלוס שלו שווה למכפלת מודול הגורמים, כלומר שלוש וחמש. . כלל 3. כדי לסמן מספרים שליליים, יש צורך להשלים את קרן הקואורדינטות עם הקרן שממול לה ולשים עליה את הקואורדינטות המתאימות. דוגמא. המספרים הממוקמים על קו הקואורדינטות מימין לאפס נקראים חיוביים, ומשמאל - שליליים.

מודול של מספר שלילי מרחק מנקודה A(a) למקור, כלומר. לנקודה O(o), נקרא המודול של המספר a ומסומן /a/ המודול של מספר שלילי שווה למספר שממול לו. המודול, שלא עושה כלום עם מספרים חיוביים ואפס, מוציא את סימן המינוס ממספרים שליליים. המודול מסומן בקווים אנכיים, הכתובים משני צידי המספר. לדוגמה / -3 / = 3; / -2.3 / = 2.3; / -526/7 / = 526/7. מבין שני מספרים שליליים, הגדול הוא זה שהמודלוס שלו קטן, והפחות זה שהמודלוס שלו גדול יותר. (בהזדמנות זו, הם בדרך כלל מתבדחים שמספרים שליליים הם לא כמו אנשים, להיפך)

מסקנה מספרים שליליים נפוצים בימינו: הם משמשים, למשל, כדי לייצג טמפרטורות מתחת לאפס. לכן, נראה מפתיע שלפני כמה מאות שנים לא הייתה פרשנות ספציפית למספרים שליליים, ומספרים שליליים שהופיעו במהלך חישובים כונו "דמיוניים". יש צורך במספרים שליליים לא רק בעת מדידת טמפרטורה. לדוגמה, אם מיזם קיבל הכנסה של מיליון רובל, או להיפך, ספג הפסד של מיליון רובל, כיצד זה צריך לבוא לידי ביטוי במסמכים פיננסיים? במקרה הראשון, נרשמים 1,000,000 רובל. או + 1,000,000 רובל. ובשנייה, בהתאמה, (- 1,000,000 רובל).

תודה לך על תשומת הלב! -

נושא הפרויקט הוא "האם נחוצים מספרים שליליים"

מבוא

המספרים אינם שולטים בעולם, אלא מראים כיצד שולטים בעולם!

אני גתה

הצהרה זו מראה איזה תפקיד ממלא מספרים בחיינו.בשלבי ההתפתחות המוקדמים ביותר, אנשים ידעו רק מספרים טבעיים. אבל לא ניתן לוותר על מספרים אלה אפילו ברובם מקרים פשוטים. אתה לא יכול להחסיר מספר גדול יותר ממספר קטן יותר, כגון 5 מ-3. עם זאת, ב חיי היום - יוםונראה שאין צורך לבצע חיסור כזה, ולכן במשך זמן רב זה נחשב לא רק בלתי אפשרי, אלא גם חסר משמעות לחלוטין. בעיניי, היה המספר הקטן ביותר 0, כלומר כלום, אבל מסתבר שעדיין יש מספרים פחות מ-0. אלו מספרים שליליים, כלומר פחות מכלום.בעבודתי שקלתי את הצורך להשתמש במספרים שליליים לא רק במתמטיקה, אלא גם במדעים אחרים - גיאוגרפיה, פיזיקה, ביולוגיה ובחיי היומיום.

הרלוונטיות של הנושא:לאחר שלמדתי את הנושא "מספרים שליליים" בשיעורי מתמטיקה, התחלתי לשים לב לכך שמספרים שליליים נמצאים גם בשיעורים אחרים. והייתה לי שאלה: "האם יש מספיק מספרים חיוביים עבורנו?". זה גרם לי לחקור את הנושא, רציתי להבין שמספרים שליליים נחוצים בדיוק כמו מספרים חיוביים.

מַטָרָה:למד את ההיסטוריה של מספרים שליליים, ולחקור את השימוש במספרים שליליים.

משימות:

לאסוף חומר ולמד את הספרות בנושא;

גלה מתי ואיך הופיעו מספרים שליליים;

חקור את השימוש במספרים שליליים;

להמציא בעיות באמצעות מספרים שליליים;

סכמו את החומר והציגו אותו לחבריכם לכיתה.

הַשׁעָרָה:האם אנחנו צריכים מספרים שליליים?

מושא לימוד : שימוש במספרים שליליים.

נושא לימוד:מספרים שליליים

שיטות מחקר:

ניתוח של הספרות המשומשת

תצפיות

שִׂיחָה

משמעות מעשיתהעבודה טמונה בעובדה שהשימוש במספרים שליליים תורם לגישה רציונלית יותר לפתרון בעיות מעשיות.

II. תוכן עיקרי

חלק תיאורטי

היסטוריה של מספרים שליליים.

כדי ללמוד את ההיסטוריה של הופעתם של מספרים שליליים, פניתי לספרות ולמקורות אינטרנט נוספים. למדתי שמספרים שליליים הופיעו מאוחר יותר ממספרים טבעיים ושברים רגילים.

הרעיונות הראשונים לגבי מספרים שליליים עלו עוד לפני תקופתנו. אז, במאה השנייה. לִפנֵי הַסְפִירָה. המדען הסיני ג'אנג קאן בספרו "חשבון בתשעה פרקים" נותן את כללי הפעולה עם מספרים שליליים, אותם הוא מבין כחוב, וחיוביים כרכוש. הוא רשם מספרים שליליים באמצעות דיו בצבע שונה מאשר חיוביים.

במאה השלישית. לִפנֵי הַסְפִירָה. המתמטיקאי היווני הקדום דיופנטוס השתמש למעשה במספרים שליליים, וראה אותם כ"חסרים", וחיוביים כ"מוספים".

מדענים הודים השתמשו במספרים שליליים בחישובי סחר. אם יש לך 3,000 רובל ואתה קונה סחורה ב-1,000 רובל, נשאר לך 3,000 - 1,000 \u003d 2,000 רובל. אבל אם יש לך 3,000 רובל וקונה סחורה ב-5,000 רובל, אז יהיה לך חוב של 2,000 רובל. לכן, במקרה זה, האמינו כי 3000 - 5000 הופחתו, התוצאה היא המספר 2000 עם סימן מינוס, כלומר "אלפיים חוב". אז -2000 הוא מספר שלילי ובתוכו מקרה זהזה מציין שיש לך חוב של 2000 רובל.

המתמטיקאי ההודי ברהמגופטה במאה ה-7. גיבש כללים לפעולות על מספרים חיוביים ושליליים. הוא ביטא את הכללים להוספת מספרים חיוביים ושליליים כדלקמן:
"הסכום של שני נכסים הוא רכוש":
(+x)+(+x)=+x"הסכום של שני חובות הוא חוב":
(-x)+(-x)=-x

מספרים שליליים נכנסו לבסוף לשימוש רק מתקופתו של המתמטיקאי הצרפתי ר' דקארט (1596 - 1650). הוא נתן פרשנות גיאומטרית למספרים שליליים כמקטעים מכוונים. בשנת 1637 הוא

הציג את "קו הקואורדינטות".

רק בתחילת המאה ה-19 מספרים שליליים מקובלים בכל העולם ו צורה מודרניתייעודים.

2. חלק מעשי

החלת מספרים שליליים

בקרב תלמידי כיתות ה'-יא' של בית הספר ערכתי סקר שבו היה צורך לענות על שתי שאלות.

איפה משתמשים במספרים שליליים בימינו?

למה יש מספרים שליליים?

על השאלה הראשונה, 77.5% מהתלמידים ענו, בשיעורי מתמטיקה, איזון שלילי בטלפון וסולם טמפרטורה במדחום. 54.7% מהתלמידים אינם יודעים מדוע הזינו מספרים שליליים. תוצאות הסקר הניעו אותי לחקור. אז החלטתי תחילה לחקור את השימוש במספרים שליליים ופניתי לאינטרנט.

נצפה בתנועת מכוניות לאורך הכביש המהיר, העומדות בצד הדרך הפונה לכביש. שני זרמי מכוניות שועטים זה לעבר זה. כאן, למשל, "מושקוביץ'" חולף על פנינו במהירות של 100 קמ"ש, והמשאית נעה במהירות של 70 קמ"ש. אבל המספרים האלה לא מספיקים אם אנחנו רוצים לציין גם את כיוון התנועה. אכן, יש להוסיף גם שהמושקוביץ' נוסע ימינה, והמשאית נוסעת שמאלה. לפיכך, על מנת לאפיין את תנועת המכונית לאורך כביש מהיר, יש צורך לא רק לציין כמה מהר היא נוסעת (כלומר לציין את ערך מהירותה), אלא גם להסביר יותר היכן, לאיזה כיוון זה הולך - ימינה או שמאלה. לכן אומרים שמהירות המכוניות הנעות ימינה נחשבת חיובית, ומהירות המכוניות הנעות שמאלה היא שלילית. כלומר, סימן המספר יציין את כיוון המהירות (כיוון התנועה) של מכוניות.

כשהכנסתי סוללה לשעון, שמתי לב שיש "+" בקצה אחד ו-"-" בקצה השני. בקורס הבחירה בפיזיקה גיליתי שיש מטענים חיוביים ושליליים.

צופה במזג האוויר בפנים זמן שונהשנה, שמתי לב שבחורף הטמפרטורה במדחום מתחת ל-0 ◦ C, ובקיץ - מעל 0 ◦ ג. אבל בפיזיקה אתה לא יכול להחליף מילים בנוסחה, אז הטמפרטורה היא מתחת ל-0 ◦ C מסומן בסימן "-", ומעל 0 ◦ C - סימן "+". במתמטיקה, ירידה בטמפרטורה מתבטאת בסימן "-", ועלייה בסימן "+".

מספרים שליליים בביולוגיה מבטאים את הפתולוגיה של העין. קוצר ראייה (קוצר ראייה) הוא ירידה בחדות הראייה. על מנת שהעין תוכל לראות בבירור עצמים רחוקים, משתמשים בעדשות מתפצלות (שליליות).

בואו נסתכל על המפה הפיזית של העולם. חלקות קרקע עליו מצוירות גוונים שוניםירוק ו חום, והימים והאוקיינוסים צבועים בכחול וכחול. לכל צבע יש גובה משלו (עבור יבשה) או עומק (עבור ימים ואוקיינוסים).גובה ההרים נמדד באמצעות מספרים חיוביים.

עומק המים נמדד באמצעות מספרים שליליים.

המילה "שלילי" משמשת בחיי היומיום לרוב עם קונוטציה שלילית. למשל, רגשות אנושיים (בכי). באגדות, באבא יאגה משמש כגיבור שלילי. אבל יש מקרים שבהם אנחנו מרוצים מהמילה "שלילי". זה קורה, למשל, כאשר אדם נבדק לנוכחות של זיהום בגוף, ואָנוּ אנו שמחים כשזה כתוב בתעודה תוצאה שלילית; זה אומר שהפתוגן הזה לא זוהה, האדם בריא.

סיכום: אז, מספרים שליליים משמשים לתיאור כמויות, תהליכים, תופעות (ולא רק במתמטיקה).שליטה במושגים מתמטיים מאפשרת לראות את היוצא דופן בתופעות מוכרות ויומיומיות.

לאחר לימוד השימוש במספרים שליליים, הגעתי לבעיות הבאות שניתן להשתמש בהן בשיעורי מתמטיקה.

1. המכונית עוברת מקרסנוסלובודסק לסרנסק. רשמו את הקואורדינטות של ההתנחלויות ומצאו את מיקומן ביחס לעיר קרסנוסלובודסק.

2. טמפרטורת האוויר בקרסנוסלובודסק יורדת כל שעה בשתי מעלות. כעת מדחום מראה -17 מעלות. איך הטמפרטורה תשתנה בעוד שלוש שעות? צייר זאת על קו קואורדינטות. כתוב ביטוי לבעיה זו. איזו טמפרטורה יראה המדחום בעוד שלוש שעות?

3. בצָלִי שעון קיץהמים בנהר המוקשה יורדים ב-2 מטר, כאשר יורדים משקעים (גשם) הם עולים ב-3 מטר. צייר שינויים במפלס המים על קו קואורדינטות. קח את מפלס המים בנהר כתחילת הדיווח. כתוב את הקואורדינטות של ערכי המינימום והמקסימום של מפלס המים.

למה צריך מספרים שליליים?

בלימוד ספר העיון על מתמטיקה יסודית, מצאתי את התשובה לשאלה: "מדוע הם הציגו מספרים שליליים?" במשך זמן רבמשוואות נחקרו ללא עזרת מספרים שליליים, והתעוררו אי נוחות רבות. כדי לבטל את אי הנוחות הללו, הוכנסו מספרים שליליים.יחד עם זאת, במשך זמן רב, מתמטיקאים בולטים רבים סירבו להכניס אותם לשימוש או הציגו אותם בחוסר רצון רב.. לכן, ערכתי מחקר על הדוגמה של משוואה לינארית. כאשר פותרים משוואה מדרגה ראשונה עם אחד לא ידוע, למשל, המשוואה

7איקס - 5 = 10x - 11,

אנו מעבירים את האיברים כך שבחלק אחד של המשוואה ידועות, בחלק השני - כמויות לא ידועות. במקרה זה, הסימנים הפוכים. אוסף את הלא נודע צד ימין, וידוע לשמאל, אנחנו מקבלים

11-5=10x-7x;

6=3x;

x=2.

ניתן לבצע המרות אלו מבלי להשתמש בכלל במספרים שליליים, ולהתייחס לסימני + ו- כאל סימני חיבור וחיסור, ולא כסימנים של מספרים חיוביים ושליליים. אבל אז יש צורך לחשוב על השאלה מראש, ואיזה צד, ימינה או שמאלה, יש להעביר את המונחים הלא ידועים. אם, למשל, במשוואה 7 איקס - 5 = 10x - 11להזיז את המונחים הלא ידועים שמאלה, אנחנו מקבלים

7x-10x=5-11.

בלי להזין מספרים שליליים, אנחנו לא יכולים5 להחסיר11 , אנחנו לא יכולים מ7x להחסירפי 10 ולפיכך, איננו יכולים להמשיך בפתרון המשוואה. בינתיים, לא תמיד ברור מראש (במיוחד אם יש הרבה חברים) לאיזה כיוון יש להעביר את המונחים הלא ידועים כדי שלא ייווצר מצב כזה. כדי לעשות רציונליזציה של תהליך החישוב, הוצגו מספרים שליליים.

סיכום: מספרים שליליים מוצגים אז כדי לבטל מספר קשיים שהתעוררו בעיקר בפתרון משוואות.

III. סיכום

לסיכום עבודתי, הגעתי למסקנה שרוב התלמידים שנסקרו יודעים מספרים שליליים, אבל יש גם כאלה שיש להם ייצוג לא נכון של מספרים שליליים. בלימוד הספרות, הבנתי שמספרים שליליים נבעו מצרכים מעשיים של אנשים.

בעבודה עם מקורות, גיליתי שמספרים שליליים הם הנפוצים ביותר במדעים המדויקים, במתמטיקה ובפיסיקה. הכנסת מספרים שליליים הייתה קשורה לצורך לפתח מתמטיקה כמדע המספק שיטות כלליות לפתרון בעיות חשבון, ללא קשר לתוכן הספציפי ולנתונים המספריים הראשוניים.מספרים שליליים היו תוצאה של הכנסת טכניקת רציונליזציה לתרגול החישובי. לכן יש צורך במספרים שליליים. עם הופעתם הייתה תנופה גדולה להתפתחות המדע.

הפניות ומשאבים באינטרנט