על הופעתה והתפתחותן של דרכים לכתיבת מספרים שלמים לא שליליים. ההיסטוריה של הופעת המספרים האמיתיים

מבחינה היסטורית, המספרים הראשונים שאדם פגש היו מספרים שלמים: 1, 2, 3 וכו'. בעזרת מספרים כאלה ניתן היה לחשב כל מספר של עצמים שלמים.

עם זאת, למספרים הטבעיים היה חסרון גדול מאוד, הקשור לעובדה שהם אינם מייצגים מערכת סגורה ביחס לפעולה מתמטית כמו חיסור. אכן, אם יש לך רק מספרים טבעיים, אז אתה לא יכול להגיד מה שווה, למשל, 1-2=?. אפילו פעולה פשוטה כמו חיסור כבר מובילה לכך שחסרים לנו מספרים.

זה הוביל למושג המספרים השלמים. מספרים שלמים אינם נוצרים רק על ידי הוספת מספרים שליליים למספרים טבעיים. הרגע המשמעותי ביותר להופעתו של המושג מספר שלם הוא המצאת המספר "אפס". המספר הזה "0" הומצא על ידי מתמטיקאים הודים. גילוי זה של המספר אפס היה מהפכה של ממש במתמטיקה. כי בפעם הראשונה המתמטיקאים המציאו שם וייעוד למשהו שלא באמת קיים, שאינו קיים.

התברר שאם מייעדים משהו שלא קיים ומחשיבים אותו פורמלית, כאילו הוא קיים בפועל, אז זה מפשט מאוד חישובים מתמטיים. לפני הצגת המושג מספר אפס ומספרים שליליים, מתמטיקאים היו צריכים להיות מאוד סוטים בפתרון משוואות כדי להימנע מהופעת מספרים שליליים. היצירה המפורסמת ביותר בימי הביניים שהוקדשה לבעיה זו, כיצד להימנע ממספרים שליליים בעת פתרון משוואות, נכתבה על ידי המתמטיקאי האוזבקי אל-חוואריזמי (מתורגם מילולית כ"מהעיר חורזם"). משמו בא המונח "אלגוריתם". היצירה עצמה נקראה "אל-ג'בר" (בתרגום כ"שיקום", כלומר כמו "שיטות להשבת ערכים חיוביים"). משמה של עבודה זו בא שמה של המדע "אלגברה".

אבל מסתבר שגם מספרים שלמים אינם קבוצה סגורה שלמה של מספרים. בתוך מספרים שלמים בלבד, אי אפשר לבצע את כל פעולות החלוקה האפשריות. לדוגמה, כאשר מחלקים 1:2=?, איננו מקבלים מספר שלם.

כך עולה המושג של מספרים שבריים. מספרים שברים יחד עם מספרים שלמים יוצרים את המושג של מספרים רציונליים. באופן כללי, ההגדרה של מספר רציונלי במונחים של מספרים שלמים נשמעת כך. מספר רציונלי תמיד יכול להיות מיוצג כ m/n, איפה Mו נהם מספרים שלמים.

מבחינה היסטורית, מספרים שברים התגלו לפני מספרים שליליים, אם כי, באופן הגיוני, מספרים שברים היו צריכים להופיע מאוחר יותר משליליים.

ההרחבה הבאה של מושג המספר התעוררה בקשר לגילוי המספרים האי-רציונליים. מספרים אי-רציונליים יחד עם מספרים רציונליים יוצרים את מה שנקרא מספרים ממשיים או, במילים אחרות, מספרים ממשיים.

גילוי המספרים האי-רציונליים מיוחס לפיתגורס. טוענים כי פיתגורס גילה בטעות מספרים אי-רציונליים תוך כדי לימוד המשפט המפורסם שלו לפיו במשולש ישר זווית סכום ריבועי הרגליים שווה לריבוע של תחתית התחתית. פיתגורס נחשב למשולש ישר זווית עם רגליים שוות לאחת. במשולש כזה, אורך התחתון שווה לשורש של שניים. פיתגורס הצליח להוכיח שלא ניתן לבטא בשום צורה את אורך התחתון במשולש כזה בשום יחס של מספרים שלמים m/n. כלומר, אין שני מספרים שלמים כאלה Mו נ, שבאמצעותו ניתן לבטא את אורך התחתון אם אורכי הרגליים שווים לאחד.

גילוי זה הרשים את פיתגורס עד כדי כך שהוא במשך זמן רבשמר את זה בסוד. פיתגורס סיפר את הגילוי הזה של מספרים אי-רציונליים רק לתלמידיו, כשהוא נשבע מכל אחד מהם על המספר 36 שהם לא יספרו לאיש על הגילוי הזה. המספר 36 נחשב לקדוש וקסום על ידי הפיתגוראים. 36=(1+3+5+7)+(2+4+6+8). האגדה טוענת שאחד מתלמידיו הפר את השבועה הזו ופרסם ברבים את הגילוי של מספרים אי-רציונליים. כמובן, האלים היוונים העתיקים אינם סולחים על הפרת השבועה על המספר הקדוש 36. לכן, תלמיד זה של פיתגורס טבע על הספינה במהלך סערה.

עצם ההוכחה לחוסר הרציונליות של השורש הריבועי של שניים היא פשוטה מאוד ואינה חורגת מתחום הקורס במתמטיקה בבית הספר.

נניח, בסתירה, שניתן לייצג את השורש הריבועי של 2 כשבר שכבר בלתי ניתן לצמצום, כאשר Mו נהם מספרים שלמים. ואז מתברר ש m^2=2n^2, זה m^2תמיד מספר זוגי, ולכן מספר Mהוא גם תמיד זוגי. כל מספר זוגי יכול להיות מיוצג כ m=2k, איפה קהוא מספר שלם. אבל אז (2k)^2=2n^2, זה 2k^2=n^2. אז מסתבר שהריבוע של המספר נהוא גם מספר זוגי ומסתבר שהמספר עצמו נגם אפילו. אז, אנחנו מבינים את זה Mו נאלו מספרים זוגיים, מה שסותר את התנאי ההתחלתי ש m/nזהו שבר בלתי ניתן לצמצום, כלומר באותו הזמן Mו נלא יכול להיות אפילו.

המספרים האי-רציונליים המפורסמים ביותר במתמטיקה הם המספר π - היחס בין היקף מעגל לקוטרו ולמספר ההוא הבסיס של הלוגריתמים הטבעיים.

ישנם שני הבדלים מהותיים בין מספרים רציונליים ואי-רציונליים.

הבדל ראשון. אם נכתוב את המספרים האלה בטופס שבר עשרוני, אז במספר רציונלי תראה בסופו של דבר איזה רצף של ספרות שחוזר על עצמו מדי פעם. לדוגמה:

5=5.0 0000000000...
6.88=6.880 0000000...
10/3=3.3 333333333...
456.6485327964 44444444...
0.65333352198743 98743987439874398743...

במספר אי רציונלי, לא תראה שום רצף מחזורי חוזר של מספרים. הופעתה של ספרה מסוימת ברשומה של מספר אי-רציונלי מתוארת בחוקים הסתברותיים. לדוגמה, ניתן למצוא את מספר הטלפון שלך או תאריך הלידה שלך בין רצף של ספרות של מספר לא רציונלי, וגם מספר הטלפון שלך וגם תאריך הלידה שלך יופיעו שוב ושוב בהזנת המספר וקיימת סבירות מסוימת לנפילה, נגיד, מספר הטלפון שלך עבור כל מיליון תווים.

במספרים שונים, הסתברות זו עשויה להיות שונה. כדי להבהיר זאת, שקול את המערכת הבינארית של החשבון. יש לו רק שתי ספרות "0" ו- "1". כלומר, כל מספר אי-רציונלי נכתב כרצף אקראי של אפסים ואחדים. עם זאת, זה בכלל לא אומר שאפסים ואחדים ברצף כזה נופלים באותה מידה, כמו, למשל, בעת הטלת מטבע. ברור שלמספר אי-רציונלי כזה יש כל זכות להתקיים, שההסתברות לנפילת אפס, למשל, קטנה פי חמישה מההסתברות למצוא יחידה ברצף הספרות ברישום המספר. לפיכך, הספקטרום של ספרות נופלות בסימון של מספר אי-רציונלי, באופן כללי, אינו מייצג רעש לבן קלאסי. אבל כמקרה מיוחד, רעש לבן אפשרי, כמובן.

עבורי באופן אישי, זה תמיד היה בגדר תעלומה האם ספקטרום הופעת ספרות מסוימות ברישום של מספר אי-רציונלי הוא ספקטרום נייח, או שמא תדירות הופעת ספרה מסוימת משתנה בהתאם לאיזה חלק במספר. רשומה שאנו שוקלים, נניח, את אלף הספרות הראשונות או את המאה אלף הספרות. ליתר דיוק, אני כמעט בטוח ששום דבר לא אוסר על קיומם של מספרים אי-רציונליים "לא נייחים". אבל מה ההבדל בין המאפיינים של מספרים אי-רציונליים "נייחים" ו"לא נייחים"?

הבדל שני. כל המספרים הרציונליים ניתנים לספירה. במילים אחרות, אתה יכול להמציא אלגוריתם כיצד לספור את כל המספרים הרציונליים. או, במילים אחרות, איך לסדר את כל המספרים הרציונליים בצורה כזו שכל מספר רציונלי משויך למספר טבעי ייחודי כלשהו. זה יוצא דופן נכס מענייןמספרים רציונליים, שלמעשה אומר לנו את זה ישנם מספרים רציונליים כמו שיש מספרים טבעיים.. זוהי אמירה פרדוקסלית. אחרי הכל, בהתחלה נראה שצריך להיות לא רק הרבה יותר מספרים רציונליים ממספרים טבעיים, אלא אינסוף פי כמה ממספרים טבעיים.

אבל אכן יש יותר מספרים ממשיים ממספרים טבעיים במספר אינסופי של פעמים. אי אפשר לחשוב על דרך לספור את כל המספרים הממשיים באמצעות מספרים טבעיים. במילים אחרות, אם כל המספרים הרציונליים ממופים אחד לאחד למספרים טבעיים, אז מיפוי כזה של כל המספרים הממשיים כבר לא אפשרי. ניתן למפות כל מספר טבעי רק לאינסוף מספר גדולמספרים אמיתיים.

למרבה הצער, המספרים האמיתיים התבררו גם כקבוצה סגורה לא מלאה של מספרים. התברר כי במסגרת המספרים הממשיים, פעולת חילוץ השורש הריבועי ממספרים שליליים נותרה בלתי מוגדרת. ההרחבה הבאה של מושג המספר היא מושג המספרים המרוכבים. התברר שמספרים מרוכבים הם המספרים הממשיים.

"הקלטת" מספרים באמצעות חריצים או קשרים לא הייתה נוחה במיוחד, מכיוון שכדי לכתוב מספרים גדולים היה צריך לעשות הרבה חריצים או קשרים, מה שהקשה לא רק על הכתיבה, אלא גם על השוואת מספרים זה לזה, זה היה גם קשה לבצע פעולות במספרים. לכן קמו דרכים אחרות, חסכוניות יותר לכתיבת מספרים: הם החלו לספור בקבוצות המורכבות מאותו מספר אלמנטים. זה היה הקל על ידי התפתחות של ספירה בעזרת אצבעות ואצבעות. המעבר של האדם לספירת אצבעות הוביל ליצירת מערכות מספרים שונות: חמש, עשרוני, ויגסימלי וכו'.

באופן כללי, מערכת המספרים העתיקה ביותר נחשבת לבינארית. היא נוצרה כאשר אדם שמר לספור לא על האצבעות, אלא בעזרת ידיים, כלומר כאשר יחידת הקטגוריה הנמוכה ביותר הייתה יד אחת, ויחידת הקטגוריה הגבוהה ביותר הייתה שתי ידיים. עקבות של מערכת זו שרדו עד היום - הם מתבטאים ברצון לספור בזוגות.

בהדרגה, בהשפעת הצרכים הכלכליים הגדלים, יצרה האנושות שיטות ספירה. תהליך זה היה ספונטני וארוך. זה התחיל בימי קדם, כאשר אנשים פיתחו את המושגים המתמטיים הראשונים, ובפרט את המושגים של מספר טבעי וספירה.

המשך התפתחותם התרחש בעידן היווצרותן של המדינות העתיקות ביותר - בבל, מצרים, סין וכו', כלומר לפני כחמשת אלפים שנה. בתקופה זו נוצרו דרכים חדשות לכתיבת מספרים.

בבבל העתיקה ספרו בקבוצות של שישים, כלומר, מערכת המספרים כאן הייתה סקסגסימלית. לדוגמה, המתמטיקאי הבבלי דמיין את המספר 137 באופן הבא: 137 \u003d 2-60 + 17. כמובן, מספר זה נכתב בסימנים אחרים - טריזים משולשים. העובדה היא שהבבלים הקדמונים עשו תיעוד על לוחות חימר על ידי סחיטת טריזים משולשים מתוכם. לאחר מכן יובשו טבליות אלו ונורו.

כדי לרשום מספרים, נעשה שימוש במיקומי הטריז: אנכי - עם הקצה כלפי מטה ואופקי - עם הקצה שמאלה. יחד עם זאת, התכוון השלט לאחד ושישים, הסימן "- עשר. מספרים אחרים תוארו באמצעות סימנים אלה ופעולת החיבור. לדוגמה, המספר 5 הוצג כך: והמספר 137 כך:. השיא האחרון של המספר במערכת הסקסגסימאלית: 60+60+10+7=2∙60+17.

עם זאת, לתיעוד המספרים שהומצא בבבל העתיקה היו חסרונות: קשה היה לתאר בו מספרים גדולים, לא היה שום סימן מיוחד לבסיס מערכת המספרים - המספר 60, מה שהוביל לאי התאמה ברשומות בודדות.

מדוע השתמשו הבבלים במספר 60 כבסיס למערכת המספרים שלהם? קשה לענות על שאלה זו באופן חד משמעי. נציין רק שלבבלים הקדמונים היה מלאי גדול למדי של ידע בתחומים שונים: מתמטיקה, אסטרונומיה. ישנה הנחה שהבסיס ליצירת מערכת המספרים הסקסגסימלית היה חלוקת המעגל ב-360

מערכת המספרים העשרונית, כלומר דרך הכתיבה והקריאת מספרים, המשמשת כיום את כל האנושות. אירוע זה מתוארך למאה ה-6. ו. ה. מה הייתה הגילוי הזה? אחרי הכל, אנשים מימי קדם רשמו מספרים.

העובדה היא שבדרך זו של כתיבת מספרים, שהומצאה על ידי מתמטיקאים הודים, הערך של כל ספרה בהזנת המספרים תלוי במקומה, במיקום שלה. לדוגמה, אותו מספר 7 במספר 703 פירושו 7 מאות, במספר 72 - שבע עשרות, ובמספר 7230 - שבעת אלפים. התברר שבעזרת עשר ספרות אפשר לכתוב כל מספר. לכן, מערכת המספרים העשרונית נקראת מיקום. בנוסף, בהודו, לראשונה, החלו להשתמש באפס לציון יחידות סיביות חסרות, מה שגם מילא תפקיד גדול בשיפור סימון המספרים ופישוט החישובים.

כמובן, שיא האפס, המוכר לנו, לא הופיע מיד. הורדתי אותו, אם לא הייתה ספרה במספר, האינדיאנים אמרו את המילה "ריק" במקום שם המספר, וכשכתבו שמים נקודה במקום הספרה ה"ריקה". מאוחר יותר, במקום נקודה, החלו לצייר עיגול, אשר נקרא "סוניה", שפירושו "ריק" בהינדית.

כאשר מתורגמים ל שפה ערביתהמילה "סוניה" הפכה למילה "sifr", שברוסית נשמעת כמו "מספר". אנו קוראים למספרים כל עשרת התווים המשמשים לכתיבת מספרים: 0, 1.2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. אבל לפני מאתיים שנה, רק תו אחד נקרא מספר - 0.

המספרים שאיתם נכתבים מספרים במערכת המספרים העשרונית הומצאו גם על ידי המתמטיקאים של הודו העתיקה. אם כי, כמובן, האיות המקורי שלהם שונה משמעותית מהאיות המודרני. צורת המספרים הנוכחית התבססה רק לאחר המצאת הדפוס - במאה ה-15.

מדוע המספרים שהומצאו בהודו נקראים לעתים קרובות ערבית? העובדה היא שמדינת הערבים, שקמה במאה ה-7 בחצי האי ערב, הכניעה מספר לא מבוטל של מדינות שהיו בשלב התפתחות גבוה יותר במאתיים שנה. הח'ליפות הערבית כללה, למשל, את צפון הודו, מצרים, מרכז אסיה, מסופוטמיה, פרס, טרנס-קווקזיה, צפון אפריקה ומדינות נוספות. בירת המדינה העצומה הזו הייתה העיר בגדאד, שהפכה למרכז התרבות הערבית. הערבים הבינו את חשיבות המדע ואספו, למדו ותרגמו בקפידה לשפתם את יצירותיהם של מדענים מהמדינות הנכבשות, כולל יוון, הודו ומרכז אסיה.

עם זאת, מתמטיקאים ערבים לא רק שימרו את יצירותיהם של מדענים מצטיינים מהעת העתיקה, אלא גם תרמו תרומה רבה לפיתוח המתמטיקה.

מדען מצטיין של המאה ה-9 היה המתמטיקאי האוזבקי (חורזם) מוחמד בן מוסא אל-ח'ואריזמי. ספרו "כיתאב אל-ג'בר", הקובע את הכללים להכרעה בעיות חשבוןומשוואות, נתנו את השם למדע האלגברה.

מבוא

עולם המספרים הוא מאוד מסתורי ומעניין. מספרים חשובים מאוד בעולמנו. אני רוצה ללמוד כמה שיותר על מקורם של מספרים, על המשמעות שלהם בחיינו. כיצד ליישם אותם ואיזה תפקיד הם ממלאים בחיינו?

בשנה שעברה בשיעורי מתמטיקה התחלנו ללמוד את הנושא "מספרים חיוביים ושליליים". הייתה לי שאלה, מתי הופיעו מספרים שליליים, באיזו מדינה, אילו מדענים עסקו בנושא הזה. קראתי בויקיפדיה שמספר שלילי הוא מרכיב מקבוצת המספרים השליליים, אשר (יחד עם אפס) הופיע במתמטיקה כאשר קבוצת המספרים הטבעיים הורחבה. מטרת ההרחבה היא לספק פעולת חיסור עבור כל מספר. כתוצאה מההרחבה מתקבלת קבוצה (טבעת) של מספרים שלמים המורכבת ממספרים חיוביים (טבעיים), מספרים שליליים ואפס.

כתוצאה מכך, החלטתי לחקור את ההיסטוריה של מספרים שליליים.

מטרת עבודה זו היא ללמוד את ההיסטוריה של הופעתם של מספרים שליליים וחיוביים.

מושא המחקר הוא מספרים שליליים ו מספרים חיוביים

היסטוריה של מספרים חיוביים ושליליים

אנשים לא יכלו להתרגל למספרים שליליים במשך זמן רב. מספרים שליליים נראו להם בלתי מובנים, הם לא השתמשו בהם, הם פשוט לא ראו בהם משמעות מיוחדת. מספרים אלו הופיעו מאוחר בהרבה ממספרים טבעיים ושברים רגילים.

המידע הראשון על מספרים שליליים x נמצאים בקרב מתמטיקאים סינים במאה ה-2 לפני הספירה. לִפנֵי הַסְפִירָה ה. ואז, רק כללי החיבור והחיסור של מספרים חיוביים ושליליים היו ידועים; כללי הכפל והחילוק לא יושמו.

כמויות חיוביות במתמטיקה הסינית נקראו "צ'ן", שליליות - "פו"; הם הוצגו צבעים שונים: "צ'ן" - אדום, "פו" - שחור. ניתן לראות זאת בספר אריתמטיקה בתשעה פרקים (המחבר ג'אנג יכול). שיטת ייצוג זו הייתה בשימוש בסין עד אמצע המאה ה-12, עד ש-Li Ye הציע סימון נוח יותר למספרים שליליים – המספרים שמתארים מספרים שליליים נמחקו במקף באלכסון מימין לשמאל.

רק במאה ה-7 מתמטיקאים הודים החלו לעשות שימוש נרחב במספרים שליליים, אך התייחסו אליהם בחוסר אמון מסוים. בהשארה כתב ישירות: "אנשים לא מאשרים מספרים שליליים מופשטים...". כך קבע המתמטיקאי ההודי ברהמגופטה את כללי החיבור והחיסור: "רכוש ורכוש הם רכוש, הסכום של שני חובות הוא חוב; סכום הרכוש והאפס הוא רכוש; הסכום של שני אפסים הוא אפס... חוב, שנגרע מאפס, הופך לרכוש, ורכוש הופך לחוב. אם יש צורך לקחת רכוש מחוב, וחוב מנכס, אז הם לוקחים את הסכום שלהם. "הסכום של שני נכסים הוא קניין."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

ההודים קראו למספרים החיוביים "דאנה" או "סווא" (רכוש), ולשליליים - "רינה" או "קשאיה" (חוב). מדענים הודים, שניסו למצוא דוגמאות של חיסור כזה בחיים, באו לפרש אותו מנקודת המבט של חישובי סחר. אם לסוחר יש 5000 r. וקונה סחורה עבור 3000 רובל, יש לו 5000 - 3000 \u003d 2000, ר. אם יש לו 3,000 רובל והוא קונה ב-5,000 רובל, אז הוא נשאר בחובות של 2,000 רובל. בהתאם לכך, סברו כי מתבצעת כאן חיסור של 3000 - 5000, אך התוצאה היא המספר 2000 עם נקודה בראש, כלומר "אלפיים חוב". פרשנות זו הייתה מלאכותית, הסוחר מעולם לא מצא את סכום החוב בהפחתת 3000 - 5000, אלא תמיד בהפחתת 5000 - 3000.

קצת מאוחר יותר, בהודו ובסין העתיקה, ניחשו במקום המילים "חוב של 10 יואן" פשוט לכתוב "10 יואן", אבל ציירו את ההירוגליפים האלה בדיו שחורה. והסימנים "+" ו-"-" בימי קדם לא היו למספרים, ולא לפעולות.

גם היוונים לא השתמשו בסימנים בהתחלה. המדען היווני הקדום דיופנטוס לא זיהה כלל מספרים שליליים, ואם התקבל שורש שלילי בעת פתרון משוואה, אז הוא השליך אותו כ"בלתי נגיש". ודיופנטוס ניסה לנסח בעיות ולעשות משוואות באופן שימנע שורשים שליליים, אך עד מהרה החל דיופנטוס מאלכסנדריה לציין חיסור בסימן.

כללים להתמודדות עם מספרים חיוביים ושליליים הוצעו כבר במאה ה-3 במצרים. הכנסת כמויות שליליות התרחשה לראשונה בדיופאנטוס. הוא אפילו השתמש תו מיוחדבשבילם. במקביל, דיופנטוס משתמש בהפניות דיבור כמו "בואו נוסיף את השלילי לשני הצדדים", ואף מנסח את כלל הסימנים: "שלילי כפול שלילי נותן חיובי, בעוד שלילי כפול חיובי נותן שלילי."

באירופה החלו להשתמש במספרים שליליים מהמאות ה-12-13, אך עד המאה ה-16. רוב המדענים ראו בהם "שקר", "דמיוני" או "אבסורדי", בניגוד למספרים חיוביים - "נכון". מספרים חיוביים התפרשו גם כ"רכוש", ומספרים שליליים - כ"חוב", "מחסור". אפילו המתמטיקאי המפורסם בלייז פסקל טען ש-0 − 4 = 0, מכיוון ששום דבר לא יכול להיות פחות מכלום. באירופה, לאונרדו פיבונאצ'י מפיזה התקרב מספיק לרעיון של כמות שלילית בתחילת המאה ה-13. בתחרות בפתרון בעיות עם מתמטיקאי החצר של פרידריך השני, לאונרדו מפיזה התבקש לפתור בעיה: נדרש למצוא את הבירה של כמה אנשים. פיבונאצ'י שלילי. "המקרה הזה," אמר פיבונאצ'י, "אי אפשר, חוץ מאשר לקבל שלאדם לא היה הון, אלא חוב." עם זאת, מספרים שליליים במפורש שימשו לראשונה בסוף המאה ה-15 על ידי המתמטיקאי הצרפתי שוקט. מחבר חיבור בכתב יד על חשבון ואלגברה, מדע המספרים בשלושה חלקים. הסמליות של שוקה מתקרבת לזו המודרנית.

עבודתו של המתמטיקאי, הפיזיקאי והפילוסוף הצרפתי רנה דקארט תרמה להכרה של מספרים שליליים. הוא הציע פרשנות גיאומטרית של מספרים חיוביים ושליליים - הוא הציג את קו הקואורדינטות. (1637).

מספרים חיוביים מתוארים על ציר המספרים על ידי נקודות השוכנות מימין למקור 0, מספרים שליליים - משמאל. הפרשנות הגיאומטרית של מספרים חיוביים ושליליים תרמה לזיהוי שלהם.

בשנת 1544, המתמטיקאי הגרמני מיכאל שטיפל מחשיב לראשונה מספרים שליליים כמספרים פחות מאפס (כלומר "פחות מכלום"). מאותו רגע, מספרים שליליים כבר לא נתפסים כחוב, אלא בצורה חדשה לגמרי. שטיפל עצמו כתב: "אפס הוא בין מספרים אמיתיים לאבסורדים..."

כמעט במקביל לסטיפל, בומבלי רפאלה (1530-1572 בקירוב), מתמטיקאי ומהנדס איטלקי שגילה מחדש את עבודתו של דיופנטוס, הגן על רעיון המספרים השליליים.

באופן דומה, ג'ירארד ראה במספרים שליליים די מקובלים ושימושיים, בפרט, כדי להצביע על היעדר משהו.

כל פיזיקאי מתעסק כל הזמן במספרים: הוא תמיד מודד משהו, מחשב, מחשב. בכל מקום בניירות שלו - מספרים, מספרים ומספרים. אם תסתכל מקרוב על הרשומות של פיזיקאי, תגלה שכאשר כותב מספרים, הוא מרבה להשתמש בסימנים "+" ו-"-". (לדוגמה: מדחום, סולם עומק וגובה)

רק בתחילת המאה ה- XIX. תורת המספרים השליליים השלימה את התפתחותה, ו"מספרים אבסורדיים" זכו להכרה אוניברסלית.

הגדרת המושג מספר

בְּ עולם מודרניאדם משתמש כל הזמן במספרים, אפילו בלי לחשוב על מקורם. ללא ידיעת העבר אי אפשר להבין את ההווה. מספר הוא אחד ממושגי היסוד של המתמטיקה. מושג המספר התפתח בקשר הדוק עם חקר הגדלים; הקשר הזה נמשך עד היום. בכל הסעיפים מתמטיקה מודרניתאתה צריך לשקול כמויות שונות ולהשתמש במספרים. מספר הוא הפשטה המשמשת לכימות עצמים. לאחר שהתעורר בחברה הפרימיטיבית מצורכי הספירה, המושג מספר השתנה והועשר והפך למושג המתמטי החשוב ביותר.

ישנן הגדרות רבות למונח "מספר".

ראשון הגדרה מדעיתהמספר ניתן על ידי אוקלידס ב"יסודות" שלו, שהוא כמובן ירש מבן ארצו אודוקסוס מקנידוס (בערך 408 - בערך 355 לפנה"ס): "יחידה היא זו שלפיה כל אחד מהדברים הקיימים נקרא אחד . מספר הוא קבוצה המורכבת מיחידות. כך הוגדר מושג המספר על ידי המתמטיקאי הרוסי מגניצקי בחשבונו (1703). עוד לפני אוקלידס, אריסטו נתן את ההגדרה הבאה: "מספר הוא קבוצה, הנמדדת בעזרת יחידות". בחשבונו הכללי (1707), הגדול פיזיקאי אנגלי, כותב המכונאי, האסטרונום והמתמטיקאי אייזק ניוטון: "במספר אנו מתכוונים לא כל כך לקבוצה של יחידות, אלא ליחס מופשט של כמות כלשהי לכמות אחרת מאותו סוג, הנלקחת כיחידה. ישנם שלושה סוגים של מספרים: מספר שלם, שבר ואי-רציונלי. מספר שלם הוא זה שנמדד ביחידה; שבר - כפולה של היחידה, אי רציונלי - מספר שאינו תואם את היחידה.

גם המתמטיקאי מריופול S.F. Klyuykov תרם להגדרת מושג המספר: "מספרים הם מודלים מתמטיים של העולם האמיתי, שהומצא על ידי האדם למען הידע שלו". הוא גם הכניס את מה שנקרא "מספרים פונקציונליים" לסיווג המסורתי של מספרים, כלומר מה שנקרא בדרך כלל פונקציות בכל העולם.

מספרים טבעיים עלו בעת ספירת עצמים. למדתי על זה בכיתה ה'. ואז למדתי שהצורך האנושי למדוד כמויות לא תמיד מתבטא כמספר שלם. לאחר הרחבת קבוצת המספרים הטבעיים לשברים, ניתן היה לחלק כל מספר שלם במספר שלם אחר (למעט החלוקה באפס). יש מספרים שברים. להחסיר מספר שלם ממספר שלם אחר, כאשר המופחת גדול מהמצומצם, במשך זמן רב נראה בלתי אפשרי. מעניינת עבורי הייתה העובדה שבמשך זמן רב מתמטיקאים רבים לא זיהו מספרים שליליים, מתוך אמונה שהם אינם מתאימים לשום תופעה אמיתית.

מקור המילים "פלוס" ו"מינוס"

המונחים מגיעים מהמילים פלוס - "יותר", מינוס - "פחות". בתחילה, פעולות סומנו באותיות הראשונות p; M. מתמטיקאים רבים העדיפו או הופעת הסימנים המודרניים "+", "-" אינה ברורה לחלוטין. הסימן "+" מגיע כנראה מהקיצור et, כלומר. "ו". עם זאת, ייתכן שהדבר נבע מנוהג מסחר: מידות היין הנמכרות סומנו על החבית ב-"-", וכאשר הוחזר המלאי, הן נמחקו, התקבל סימן "+".

בהלוואות כספים לאיטליה, הריבית שמה את סכום החוב ומקף מול שם החייב, כמו המינוס שלנו, וכשהחייב החזיר את הכסף, מחקו אותו, משהו כמו הפלוס שלנו.

סימנים מודרניים "+" הופיעו בגרמניה בעשור האחרון של המאה ה-15. בספר וידמן, שהיה מדריך לחשבון הסוחרים (1489). יאן ווידמן הצ'כי כבר כתב "+" ו-"-" לחיבור וחיסור.

מעט מאוחר יותר כתב החוקר הגרמני מישל שטיפל את החשבון המלא, שפורסם ב-1544. הוא מכיל ערכים כאלה עבור מספרים: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. מספרים מהסוג הראשון שהוא כינה "פחות מכלום" או "נמוך מכלום". מספרים מהסוג השני הוא כינה "יותר מכלום" או "גבוה מכלום". כמובן, אתה מבין את השמות האלה, כי "כלום" הוא 0.

מספרים שליליים במצרים

עם זאת, למרות ספקות כאלה, הכללים להתמודדות עם מספרים חיוביים ושליליים הוצעו כבר במאה ה-3 במצרים. הכנסת כמויות שליליות התרחשה לראשונה בדיופאנטוס. הוא אפילו השתמש בתו מיוחד עבורם (עכשיו אנחנו משתמשים בסימן המינוס בשביל זה). נכון, חוקרים טוענים האם הסמל הדיופנטי מציין במדויק מספר שלילי או פשוט פעולת חיסור, כי אצל דיופנטוס מספרים שליליים אינם מתרחשים במנותק, אלא רק בצורה של הבדלים חיוביים; והוא מחשיב רק מספרים חיוביים רציונליים כתשובות בבעיות. אבל במקביל, דיופנטוס משתמש בהפניות דיבור כמו "הבה נוסיף את השלילי לשני הצדדים", ואף מנסח את כלל הסימנים: "שלילי כפול שלילי נותן חיובי, בעוד שלילי כפול חיובי. נותן שלילי" (זה שמנוסח כיום בדרך כלל: "מינוס במינוס נותן פלוס, מינוס בפלוס נותן מינוס").

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

מספרים שליליים באסיה העתיקה

כמויות חיוביות במתמטיקה הסינית נקראו "צ'ן", שליליות - "פו"; הם תוארו בצבעים שונים: "צ'ן" - אדום, "פו" - שחור. שיטת ייצוג זו הייתה בשימוש בסין עד אמצע המאה ה-12, עד ש-Li Ye הציע סימון נוח יותר למספרים שליליים – המספרים שמתארים מספרים שליליים נמחקו במקף באלכסון מימין לשמאל. מדענים הודים, שניסו למצוא דוגמאות של חיסור כזה בחיים, באו לפרש אותו מנקודת המבט של חישובי סחר.

אם לסוחר יש 5000 r. וקונה סחורה עבור 3000 רובל, יש לו 5000 - 3000 \u003d 2000, ר. אם יש לו 3,000 רובל והוא קונה ב-5,000 רובל, אז הוא נשאר בחובות של 2,000 רובל. בהתאם לכך, סברו כי מתבצעת כאן חיסור של 3000 - 5000, אך התוצאה היא המספר 2000 עם נקודה בראש, כלומר "אלפיים חוב".

פרשנות זו הייתה בעלת אופי מלאכותי, הסוחר מעולם לא מצא את סכום החוב בהפחתת 3000 - 5000, אלא תמיד הפחית 5000 - 3000. בנוסף, על בסיס זה ניתן היה להסביר במתיחה רק את הכללים להוספת ו הפחתת "מספרים עם נקודות", אך בשום אופן לא הייתה להסביר את כללי הכפל או החלוקה.

במאות V-VI, מספרים שליליים מופיעים ומופצים מאוד במתמטיקה ההודית. בהודו, מספרים שליליים שימשו באופן שיטתי כמעט כמו שאנחנו עושים עכשיו. מתמטיקאים הודים משתמשים במספרים שליליים מאז המאה ה-7. נ. ה.: ברהמגופטה ניסחה איתם את הכללים לפעולות אריתמטיות. ביצירתו אנו קוראים: "רכוש ורכוש הם רכוש, סכום שני חובות הוא חוב; סכום הרכוש והאפס הוא רכוש; הסכום של שני אפסים הוא אפס... חוב, שנגרע מאפס, הופך לרכוש, ורכוש הופך לחוב. אם יש צורך לקחת רכוש מחוב, וחוב מנכס, אז הם לוקחים את הסכום שלהם.

ההודים קראו למספרים החיוביים "דאנה" או "סווא" (רכוש), ולשליליים - "רינה" או "קשאיה" (חוב). עם זאת, בהודו היו בעיות בהבנה וקבלה של מספרים שליליים.

מספרים שליליים באירופה

המתמטיקאים האירופים לא אישרו אותם במשך זמן רב, כי הפרשנות של "חוב רכוש" גרמה לתמיהה ולספק. ואכן, כיצד ניתן "להוסיף" או "להחסיר" רכוש וחובות, איזו משמעות אמיתית יכולה להיות ל"הכפלה" או "חלוקת" הרכוש בחוב? (ג.י. גלזר, תולדות המתמטיקה בכיתות ד'-ו'. מוסקבה, חינוך, 1981)

לכן מספרים שליליים זכו במקומם במתמטיקה בקושי רב. באירופה, לאונרדו פיבונאצ'י מפיזה התקרב מספיק לרעיון של כמות שלילית בתחילת המאה ה-13, אך השימוש המפורש במספרים שליליים שימש לראשונה בסוף המאה ה-15 על ידי המתמטיקאי הצרפתי שוקט. מחבר חיבור בכתב יד על חשבון ואלגברה, מדע המספרים בשלושה חלקים. הסמליות של שוקה מתקרבת למודרנית (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

פרשנות מודרנית למספרים שליליים

לאחר מכן, שטיפל מקדיש את עבודתו כולה למתמטיקה, שבה היה אוטודידקט מבריק. אחד הראשונים באירופה לאחר שניקולה שוקה החל לפעול עם מספרים שליליים.

המתמטיקאי הצרפתי המפורסם רנה דקארט בגיאומטריה (1637) מתאר את הפרשנות הגיאומטרית של מספרים חיוביים ושליליים; מספרים חיוביים מתוארים על ציר המספרים על ידי נקודות השוכנות מימין למקור 0, שלילי - משמאל. הפרשנות הגיאומטרית של מספרים חיוביים ושליליים הובילה להבנה ברורה יותר של טבעם של מספרים שליליים ותרמה לזיהוים.

כמעט במקביל לסטיפל, ר' בומבלי רפאלה (בערך 1530-1572), מתמטיקאי ומהנדס איטלקי שגילה מחדש את עבודתו של דיופנטוס, הגן על רעיון המספרים השליליים.

בומבלי וג'ירארד, להיפך, ראו מספרים שליליים מקובלים למדי ושימושיים, במיוחד כדי להצביע על היעדר משהו. הייעוד המודרני של מספרים חיוביים ושליליים עם הסימנים "+" ו-"-" שימש את המתמטיקאי הגרמני ווידמן. הביטוי "נמוך מכלום" מראה שסטיפל וכמה אחרים דמיינו נפשית מספרים חיוביים ושליליים כנקודות על סולם אנכי (כמו סולם של מדחום). הרעיון שפיתח מאוחר יותר המתמטיקאי א' ז'ירארד של מספרים שליליים כנקודות על קו ישר מסוים שנמצא בצד השני של אפס מאשר חיוביים התברר כמכריע במתן זכויות אזרחות למספרים אלו, במיוחד כתוצאה מכך פיתוח שיטת הקואורדינטות על ידי פ' פרמה ור' דקארט.

סיכום

בעבודתי, חקרתי את ההיסטוריה של מספרים שליליים. במהלך המחקר שלי הגעתי למסקנה:

המדע המודרני נתקל בכמויות כאלה טבע מורכבשלצורך המחקר שלהם יש צורך להמציא את כל סוגי המספרים החדשים.

כאשר מציגים מספרים חדשים חשיבות רבהיש שתי נסיבות:

א) כללי הפעולה עליהם חייבים להיות מוגדרים במלואם ולא הביאו לסתירות;

ב) מערכות מספרים חדשות צריכות לתרום לפתרון בעיות חדשות, או לשפר פתרונות ידועים.

נכון להיום, קיימות שבע רמות כלליות של הכללה של מספרים: מספרים טבעיים, רציונליים, ממשיים, מורכבים, וקטוריים, מטריצות ומספרים טרנססופיים. כמה מדענים מציעים להתייחס לפונקציות כמספרים פונקציונליים ולהרחיב את מידת ההכללה של המספרים לשתים עשרה רמות.

אנסה ללמוד את כל קבוצות המספרים הללו.

יישום

שִׁיר

"הוספה של מספרים שליליים ומספרים עם סימנים שונים»

אם תרצו לקפל

המספרים שליליים, אין מה להתאבל:

אנחנו צריכים לגלות במהירות את סכום המודולים,

לאחר מכן קח את סימן המינוס והוסף אותו אליו.

אם ניתנים מספרים עם סימנים שונים,

כדי למצוא את הסכום שלהם, אנחנו בסדר שם.

מודול גדול יותר ניתן לבחירה במהירות רבה.

ממנו נחסר את הקטן יותר.

הכי חשוב לא לשכוח את השלט!

איזה מהם תשים? - אנחנו רוצים לשאול

נגלה לכם סוד, זה לא קל יותר,

סימן, היכן שהמודלוס גדול יותר, כתוב בתשובה.

כללים להוספת מספרים חיוביים ושליליים

הוסף מינוס עם מינוס,

אתה יכול לקבל מינוס.

אם תוסיף מינוס, פלוס,

זה יתברר כמבוכה?!

בחר את הסימן של המספר

מה יותר חזק, אל תפהק!

קח את המודולים שלהם

כן, עשה שלום עם כל המספרים!

ניתן לפרש את כללי הכפל גם כך:

"חבר של חבר שלי הוא חבר שלי": + ∙ + = + .

"האויב של אויבי הוא ידידי": ─ ∙ ─ = +.

"חבר של האויב שלי הוא האויב שלי": + ∙ ─ = ─.

"האויב של חברי הוא האויב שלי": ─ ∙ + = ─.

סימן הכפל הוא נקודה, יש לו שלושה סימנים:

כסה שניים מהם, השלישי ייתן את התשובה.

לדוגמה.

כיצד לקבוע את הסימן של המוצר 2∙(-3)?

בואו נסגור את סימני הפלוס והמינוס עם הידיים. יש סימן מינוס

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

"כַּתָבָה עולם עתיק", כיתה ה'. קולפאקוב, סלונסקאיה.

"ההיסטוריה של המתמטיקה בעת העתיקה", א' קולמן.

"מדריך לתלמיד". הוצאה לאור VES, סנט פטרסבורג. 2003

אנציקלופדיה מתמטית גדולה. יקושיבה ג.מ. וכו.

Vigasin A.A., Goder G.I., "תולדות העולם העתיק", ספר לימוד כיתה ה', 2001

ויקיפדיה. אנציקלופדיה חופשית.

הופעתו והתפתחותו של מדע מתמטי: ספר. בשביל המורה. - מ.: נאורות, 1987.

גלפמן א.ג. "מספרים חיוביים ושליליים", ספר מתמטיקה לכיתה ו', 2001.

רֹאשׁ. ed. M.D. Aksyonova. - מ.: Avanta +, 1998.

גלזר G.I. "היסטוריה של המתמטיקה בבית הספר", מוסקבה, "Prosveshchenie", 1981

אנציקלופדיית ילדים "אני מכיר את העולם", מוסקבה, "נאורות", 1995.

היסטוריה של המתמטיקה בבית הספר, כיתות ד'-ו'. G.I. גלזר, מוסקבה, חינוך, 1981.

מוסקבה: פילול. O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

מליגין ק.א.

מילון אנציקלופדי מתמטי. מ., סוב. אנציקלופדיה, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "מתמטיקה כיתה ו'", מוסקבה, "נאורות", 1989

ספר לימוד כיתה ה'. וילנקין, ז'וחוב, צ'סנוקוב, שוורצבורד.

פרידמן ל.מ. "לימוד מתמטיקה", מהדורה חינוכית, 1994

לְמָשָׁל. גלפמן וחב', מספרים חיוביים ושליליים בתיאטרון פינוקיו. הדרכהבמתמטיקה לכיתה ו'. מהדורה שלישית, מתוקנת, - Tomsk: Tomsk University Publishing House, 1998.

אנציקלופדיה לילדים. T.11. מתמטיקה

מספר, המושג המתמטי החשוב ביותר. לאחר שעלה בצורתו הפשוטה ביותר עוד בחברה הפרימיטיבית, המושג מספר השתנה במשך מאות שנים, והתעשר בהדרגה בתוכן ככל שהיקף הפעילות האנושית מתרחב ומתרחב מגוון הסוגיות הקשורות בה, הדורשים תיאור ומחקר כמותי. בשלבי ההתפתחות הראשונים, מושג המספר נקבע על פי צורכי הספירה והמדידה שעלו בפעילות המעשית הישירה של אדם. אז המספר הופך למושג הבסיסי של המתמטיקה, והמשך הפיתוח של מושג המספר נקבע על פי הצרכים של מדע זה.

הרעיון של מספר טבעי, שנגרם מהצורך לספור עצמים, עלה בתקופה הפרהיסטורית. תהליך יצירת המושג של מספר טבעי התנהל באופן כללי כדלקמן. במפלס התחתון חברה פרימיטיביתהמושג של מספר מופשט נעדר. זה לא אומר שהאדם הפרימיטיבי לא יכול להיות מודע למספר החפצים בקבוצה מסוימת, למשל, מספר האנשים המשתתפים בציד, מספר האגמים בהם ניתן לדוג וכו'. אבל בתודעתו של אדם פרימיטיבי, עדיין לא נוצר אותו דבר נפוץ שקיים בחפצים מסוג זה, כמו למשל "שלושה אנשים", "שלושה אגמים" וכו'. ניתוח שפותיהם של עמים פרימיטיביים מראה שביטויים מילוליים שונים שימשו לספירת חפצים מסוגים שונים. המילה "שלושה" בהקשרים "שלושה אנשים", "שלוש סירות" הועברה אחרת. כמובן, סדרות מספרים כאלה היו קצרות מאוד והסתיימו במושג ("רבים") בערך במספרים גדוליםחפצים אלה או אחרים, שגם הם נקראו בשם, כלומר הובעו במילים שונות עבור חפצים סוג אחר, כגון "קהל", "עדר", "ערמה" וכו'. וכו '

מקור הופעת המושג מספר מופשט הוא ספירה פרימיטיבית של עצמים, המורכבת מהשוואת האובייקטים של קבוצה מסוימת נתונה לאובייקטים של קבוצה מסוימת מסוימת, הממלאת, כביכול, את התפקיד של תֶקֶן. עבור רוב העמים, הסטנדרט הראשון שכזה הוא האצבעות ("ספירה על האצבעות"), אשר ללא ספק מאושרת על ידי הניתוח הלשוני של שמות המספרים הראשונים. בשלב זה, המספר הופך למופשט, ללא תלות באיכות האובייקטים שנספרו, אך במקביל פועל ביישום מאוד ספציפי, הקשור לאופי מערך ההתייחסות. הצורך המתרחב בספירה אילץ אנשים להשתמש בתקני ספירה אחרים, כמו, למשל, חריצים במקל. כדי לתקן החלו להשתמש במספר גדול יחסית רעיון חדש- ייעוד של מספר ספציפי כלשהו (עבור רוב העמים - עשרה) עם סימן חדש, למשל, חריץ על מקל אחר.

עם התפתחות הכתיבה התרחבו באופן משמעותי האפשרויות לשעתוק מספרים. בתחילה החלו לציין מספרים באמצעות מקפים על החומר המשמש להקלטה (פפירוס, לוחות חימר וכו'). אחר כך הוצגו סימנים אחרים למספרים גדולים. ייעודי היתד הבבליים של המספר, כמו גם "הספרות הרומיות" ששרדו עד היום, מעידים בבירור בדיוק על דרך זו של גיבוש הייעוד למספר. צעד קדימה הייתה מערכת המספרים המיקום ההודית, המאפשרת כתיבת כל מספר טבעי באמצעות עשר ספרות - ספרות. כך, במקביל להתפתחות הכתיבה, מושג המספר הטבעי קבוע בצורת מילים (בדיבור בעל פה) ובצורת ייעוד בסימנים מיוחדים (בכתב).

עם התפתחות המושג מספר טבעי כתוצאה מספירת עצמים, נכנסות לשימוש פעולות על מספרים. פעולות החיבור והחיסור עולות תחילה כפעולות על האוספים עצמם בצורה של שילוב שני אוספים לאחד והפרדת חלק מהאוסף. הכפל, ככל הנראה, נוצר כתוצאה מספירה בחלקים שווים (שניים, שלוש וכו'), חלוקה - כחלוקת המכלול לחלקים שווים. רק מאות שנים של ניסיון יצרו את הרעיון של טבען המופשט של פעולות אלה, של עצמאות התוצאה הכמותית של הפעולה מאופי האובייקטים המרכיבים את המצרף, זה, למשל, שני אובייקטים ושלושה אובייקטים. יהווה חמישה אובייקטים, ללא קשר לאופי האובייקטים הללו. אחר כך הם החלו לפתח כללי פעולה, ללמוד את תכונותיהם, ליצור שיטות לפתרון בעיות, כלומר, התפתחות מדע המספרים – מתחילה חשבון. קודם כל, החשבון מתפתח כמערכת ידע שיש לה אוריינטציה יישומית ישירה. אבל בעצם תהליך התפתחות החשבון, יש צורך ללמוד את תכונות המספרים ככאלה, להבין עוד ועוד דפוסים מורכבים ביחסים ביניהם, עקב נוכחותן של פעולות. פירוט המושג של מספר טבעי מתחיל, מחלקים של מספרים זוגיים ואי-זוגיים, ראשוני ומרוכב וכו'. חקר תבניות עמוקות בסדרת המספרים הטבעית נמשך ומהווה ענף במתמטיקה הנקרא תורת המספרים.

למספרים הטבעיים, בנוסף לפונקציה העיקרית - מאפייני מספר העצמים, יש תפקיד נוסף - מאפיין של סדר העצמים המסודרים בשורה. המושג מספר סידורי (ראשון, שני וכו') העולה בקשר לפונקציה זו שזור באופן הדוק במושג מספר קרדינל (אחד, שניים וכו'). בפרט, סידור העצמים הניתנים לספירה בשורה וחישובם מחדש לאחר מכן באמצעות מספרים סידוריים היו הדרך הנפוצה ביותר לספירת עצמים מאז ומעולם (לדוגמה, אם יתברר שהאחרון מבין העצמים שנספרו הוא השביעי, אזי זה פירושו שיש שבעה עצמים).

שאלת הביסוס של מושג המספר הטבעי לא עלתה במדע זה זמן רב. המושג מספר טבעי הוא כל כך מוכר ופשוט שלא היה צורך להגדיר אותו במונחים של מושגים פשוטים יותר. רק באמצע המאה ה-19. בהשפעת התפתחות השיטה האקסיומטית במתמטיקה מחד, והתיקון הביקורתי של יסודות הניתוח המתמטי מאידך גיסא, התעורר הצורך לבסס את המושג מספר טבעי כמותי. הגדרה ברורה למושג מספר טבעי המבוססת על מושג קבוצה ניתנה בשנות ה-70. המאה ה 19 ביצירותיו של ג' קנטור. ראשית, הוא מגדיר את המושג שקילות של קבוצות. כלומר, שני אוספים אמורים להיות שווי ערך אם ניתן להשוות את האובייקטים המרכיבים שלהם אחד בכל פעם. אז מספר האובייקטים המרכיבים קבוצה נתונה מוגדר כדבר המשותף שיש לקבוצה זו עם כל קבוצה אחרת של אובייקטים המקבילה לה, ללא קשר לתכונות האיכותיות כלשהן של אובייקטים אלו. הגדרה כזו משקפת את המהות של מספר טבעי כתוצאה מספירת העצמים המרכיבים קבוצה נתונה. ואכן, בכל הרמות ההיסטוריות, הספירה מורכבת מהשוואה, בזה אחר זה, בין עצמים שנספרו לבין עצמים המרכיבים את מערך ה"התייחסות" (בשלבים המוקדמים - אצבעות וחריצים על מקל וכו', על השלב הנוכחי- מילים וסימנים המציינים מספרים). ההגדרה שנתן קנטור הייתה נקודת המוצא להכללה של מושג הכמויות. מספר בכיוון של מאפיינים כמותיים של קבוצות אינסופיות.

הצדקה נוספת למושג מספר טבעי מבוססת על ניתוח יחס הסדר, אשר, כפי שמתברר, ניתן לאקסיומטיזציה. מערכת האקסיומות הבנויה על עיקרון זה נוסחה על ידי G. Peano.

הכנסתם של מספרים שליליים נגרמה בהכרח מהתפתחות האלגברה כמדע המספק שיטות כלליות לפתרון בעיות אריתמטיות, ללא קשר לתוכן הספציפי שלהן ולנתונים מספריים ראשוניים. הצורך להכניס מספר שלילי לאלגברה מתעורר כבר בעת פתרון בעיות שמצטמצמות למשוואות ליניאריות עם אחד לא ידוע. תשובה שלילית אפשרית בבעיות מסוג זה יכולה להתפרש על ידי דוגמאות של הכמויות המכוונות הפשוטות ביותר (כגון קטעים מכוונים הפוך, תנועה בכיוון המנוגד לזו הנבחר וכו'). בבעיות שמובילות ליישום חוזר ונשנה של פעולות החיבור והחיסור, לפתרון ללא עזרת מספר שלילי, יש צורך לשקול הרבה מאוד מקרים; זה יכול להיות כל כך מסורבל עד שהוא מאבד את היתרון של הפתרון האלגברי של הבעיה על פני זה האריתמטי. לפיכך, השימוש הנרחב בשיטות אלגבריות לפתרון בעיות הוא קשה מאוד ללא שימוש במספר שלילי. בהודו, עוד במאות ה-6-11. מספרים שליליים שימשו באופן שיטתי בפתרון בעיות והתפרשו בעצם באותו אופן כפי שנעשה בזמן הנוכחי.

במדע האירופי, מספרים שליליים נכנסו לבסוף לשימוש רק מתקופתו של ר' דקארט, שנתן פרשנות גיאומטרית למספר שלילי כמקטעים מכוונים. יצירת הגיאומטריה האנליטית על ידי דקארט, שאפשרה לראות את שורשי המשוואה כקואורדינטות של נקודות החיתוך של עקומה מסוימת עם ציר האבשיסה, מחקה סופית את ההבדל היסודי בין השורשים החיוביים והשליליים של המשוואה. , התברר שהפרשנות שלהם זהה במהותה.

השלב האחרון בהתפתחות מושג המספר הוא הכנסת מספרים מרוכבים. מקור המושג מספר מרוכב היה התפתחות האלגברה. ככל הנראה, הרעיון של מספר מרוכב עלה לראשונה בקרב המתמטיקאים האיטלקיים של המאה ה-16. (G. Cardano, R. Bombelli) בקשר לגילוי הפתרון האלגברי של משוואות מהמעלה השלישית והרביעית. ידוע שאפילו פתרון משוואה ריבועית מוביל לפעמים לפעולת נטילת השורש הריבועי של מספר שלילי, דבר שאי אפשר באזור של מספר ממשי. אבל זה קורה רק אם אין למשוואה שורשים אמיתיים. בעיה מעשית המובילה לפתרון משוואה ריבועית כזו מסתבר שאין לה פתרון. עם גילוי הפתרון האלגברי של משוואות מהמעלה השלישית, התגלתה הנסיבות הבאות. בדיוק במקרה שבו כל שלושת שורשי המשוואה הם מספרים ממשיים, במהלך החישוב, מתברר שיש צורך לבצע את פעולת חילוץ השורש הריבועי ממספרים שליליים. ה"דמיוני" המתעורר במקרה זה נעלם רק לאחר שהושלמו כל הפעולות הבאות. נסיבות אלו היו הגירוי הראשון לשקול מספרים מרוכבים. עם זאת, מספרים מרוכבים ופעולות עליהם כמעט ולא השתרשו בפעילותם של מתמטיקאים. שרידי חוסר האמון בקביעות השימוש בהם באים לידי ביטוי במונח מספר "דמיוני" ששרד עד היום. חוסר האמון הזה התפוגג רק לאחר ההקמה בסוף המאה ה-18. פרשנות גיאומטרית של מספרים מרוכבים בצורה של נקודות במישור וביסוס היתרונות הבלתי מעורערים בהכנסת מספרים מרוכבים בתורת המשוואות האלגבריות, במיוחד לאחר יצירותיו המפורסמות של ק.גאוס. עוד לפני גאוס, ביצירותיו של ל. אוילר, מספרים מרוכבים החלו למלא תפקיד משמעותי לא רק באלגברה, אלא גם בניתוח מתמטי. תפקיד זה הפך לגדול במיוחד במאה ה-19. בקשר להתפתחות תורת הפונקציות של משתנה מורכב.

לצד קו ההתפתחות העיקרי של מושג המספר (מספרים טבעיים; מספרים רציונליים; מספרים ממשיים; מספרים מרוכבים), הצרכים הספציפיים של תחומים מסוימים במתמטיקה גרמו להכללות שונות של מושג המספר לכיוונים שונים באופן משמעותי.

אז, בענפי המתמטיקה הקשורים לתורת הקבוצות, תפקיד חשובלשחק את המושגים שהוזכרו לעיל של מספרים טרנססופיים קרדינליים וסידוריים. בְּ תיאוריה מודרניתלמספרים יש חשיבות רבה. באלגברה חוקרים מערכות שונות של עצמים שיש להם תכונות הקרובות פחות או יותר לתכונות של מכלול המספרים השלמים או המספרים הרציונליים - קבוצות, טבעות, שדות, אלגברות.